Encontre a solução geral de:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
.
Informações úteis extraídas do enunciado:
Informações úteis extraídas do enunciado:
- A equação envolve a derivada
, a função e o termo não homogêneo . - O objetivo é encontrar a família de soluções que contém uma constante arbitrária (solução geral).
Passo 2
Colocações iniciais (padronizar a equação): escrever a equação no formato padrão de primeira ordem. Aqui já está em formato padrão, podemos identificar duas funções que aparecem na forma padrão:
No nosso caso:
-
. -
.
Explicando com calma: a ideia é tratar equações do tipo
. Existe um procedimento sistemático (ferramenta) chamado fator integrante que transforma a equação numa forma que é a derivada de um produto, permitindo integrar ambos os lados facilmente.
Passo 3
Apresentando o fator integrante e por quê ele funciona.
Definição: o fator integrante
é uma função tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada de um produto
. Ou seja, queremos
com a propriedade
Pelo produto, temos
Comparando com
vemos que precisamos de
. Isso é uma equação diferencial simples para
:
Resolvendo essa equação (separando variáveis) leva à fórmula do fator integrante:
Aqui explicando cada símbolo:
-
é o fator integrante que vamos calcular. -
é a função que multiplica na equação padrão. -
é a exponencial, ou seja .
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso caso.
Temos
, então
Portanto o fator integrante é
.
Passo 5
Multiplicar a equação original por
e reconhecer a derivada de um produto.
Multiplicando:
Pelo que vimos no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto
. Confirmando com a regra do produto:
que coincide com o lado esquerdo. Portanto a equação fica
Passo 6
Integrar ambos os lados para obter
.
Integrando em relação a
:
A integral do lado esquerdo elimina a derivada, dando
. Para a direita, usar a regra geral
quando
. Aqui
, então
onde
é a constante de integração (uma constante arbitrária real).
Passo 7
Isolar
para obter a solução geral.
Multiplicando por
(que é simplesmente dividir por
):
Aqui expliquei cada termo:
-
é uma solução particular da equação (corresponde ao termo forçado ). -
é a solução geral da equação homogênea associada . -
é constante arbitrária que será determinada se houver condição inicial; na solução geral permanece livre.
Passo 8
Verificação rápida (checar que a solução encontrada satisfaz a equação original).
Calcular
para
:
Agora somar
:
que é exatamente o lado direito da equação original. Logo a solução está correta.