Encontre a solução geral de:
\frac{d y}{d x}+y=e^{3 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}+y=e^{3x}
e pede a solução geral y(x).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A equação envolve a derivada \frac{dy}{dx}, a função y e o termo não homogêneo e^{3x}.
  • O objetivo é encontrar a família de soluções que contém uma constante arbitrária (solução geral).

Passo 2

Colocações iniciais (padronizar a equação): escrever a equação no formato padrão de primeira ordem. Aqui já está em formato padrão, podemos identificar duas funções que aparecem na forma padrão:
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
No nosso caso:
  • P(x)=1.
  • Q(x)=e^{3x}.
Explicando com calma: a ideia é tratar equações do tipo \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x). Existe um procedimento sistemático (ferramenta) chamado fator integrante que transforma a equação numa forma que é a derivada de um produto, permitindo integrar ambos os lados facilmente.

Passo 3

Apresentando o fator integrante e por quê ele funciona.
Definição: o fator integrante \mu(x) é uma função tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada de um produto \mu(x)y. Ou seja, queremos \mu(x) com a propriedade
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y=\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
Pelo produto, temos
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu' y.
Comparando com \mu\frac{dy}{dx}+\mu P y vemos que precisamos de \mu'\!=\!\mu P. Isso é uma equação diferencial simples para \mu:
\frac{d\mu}{dx}=P(x)\mu.
Resolvendo essa equação (separando variáveis) leva à fórmula do fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Aqui explicando cada símbolo:
  • \mu(x) é o fator integrante que vamos calcular.
  • P(x) é a função que multiplica y na equação padrão.
  • \exp(\cdot) é a exponencial, ou seja e^{(\cdot)}.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso caso.
Temos P(x)=1, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int 1\,dx\right)=\exp(x)=e^{x}.
Portanto o fator integrante é \mu(x)=e^{x}.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{x} e reconhecer a derivada de um produto.
Multiplicando:
e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y=e^{x}e^{3x}=e^{4x}.
Pelo que vimos no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto e^{x}y. Confirmando com a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{x}\frac{dy}{dx}+\frac{d}{dx}(e^{x})\cdot y=e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y,
que coincide com o lado esquerdo. Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{4x}.

Passo 6

Integrar ambos os lados para obter e^{x}y.
Integrando em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)\,dx=\int e^{4x}\,dx.
A integral do lado esquerdo elimina a derivada, dando e^{x}y. Para a direita, usar a regra geral \int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax} quando a\neq0. Aqui a=4, então
e^{x}y=\frac{1}{4}e^{4x}+C,
onde C é a constante de integração (uma constante arbitrária real).

Passo 7

Isolar y para obter a solução geral.
Multiplicando por e^{-x} (que é simplesmente dividir por e^{x}):
y=e^{-x}\left(\frac{1}{4}e^{4x}+C\right)=\frac{1}{4}e^{3x}+Ce^{-x}.
Aqui expliquei cada termo:
  • \frac{1}{4}e^{3x} é uma solução particular da equação (corresponde ao termo forçado e^{3x}).
  • Ce^{-x} é a solução geral da equação homogênea associada \frac{dy}{dx}+y=0.
  • C é constante arbitrária que será determinada se houver condição inicial; na solução geral permanece livre.

Passo 8

Verificação rápida (checar que a solução encontrada satisfaz a equação original).
Calcular \frac{dy}{dx} para y=\frac{1}{4}e^{3x}+Ce^{-x}:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{4}\cdot 3e^{3x}+C\cdot(-1)e^{-x}=\frac{3}{4}e^{3x}-Ce^{-x}.
Agora somar y:
\frac{dy}{dx}+y=\left(\frac{3}{4}e^{3x}-Ce^{-x}\right)+\left(\frac{1}{4}e^{3x}+Ce^{-x}\right)=\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)e^{3x}=e^{3x},
que é exatamente o lado direito da equação original. Logo a solução está correta.

Resposta

y=\dfrac{1}{4}e^{3x}+Ce^{-x}

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