Determine o volume do sólido limitado por z=9-x^2, y+z=9, y=0 e z=0, via integração tripla. Esboce os gráficos espacial e plano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado pelas superfícies z = 9 - x^2 , y + z = 9 , y = 0 e z = 0 . Para isso, vamos usar integração tripla, que é uma técnica da matemática para calcular volumes de formas mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o sólido:
  • z = 9 - x^2 : Essa é uma parábola aberta para baixo no eixo z .
  • y + z = 9 : Podemos reescrever como z = 9 - y , que é um plano inclinado.
  • y = 0 : Esse é o plano onde y é zero, ou seja, o eixo x-z .
  • z = 0 : Esse é o plano x-y .
Vamos visualizar essas superfícies juntas para entender melhor os limites do nosso sólido.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para x , y e z .
Começando com x :
A equação z = 9 - x^2 nos mostra que x^2 = 9 - z , então x varia de -raiz9 - z a raiz9 - z .
Para y :
Como y = 0 é um dos limites e a outra equação é y = 9 - z , y varia de 0 a 9 - z .
Para z :
Observando z = 0 e z = 9 - x^2 , z varia de 0 a 9 .

Passo 4

Agora que temos os limites, vamos montar a integral tripla. A ordem de integração será dz , dy e dx :
V = integralx=-3^3 integraly=0^9 - z integralz=0^9 - x^2 dz , dy , dx
Mas na verdade, é mais fácil integrar na ordem dz , dy , dx com os limites ajustados corretamente.

Passo 5

Vamos ajustar a ordem de integração para facilitar os cálculos. Integrando primeiro em z , depois em y e por último em x :
V = integralx=-3^3 integraly=0^9 integralz=0^9 - y dz , dy , dx

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral interna em z :
integralz=0^9 - y dz = (9 - y) - 0 = 9 - y
Então, a integral fica:
V = integralx=-3^3 integraly=0^9 (9 - y) , dy , dx

Passo 7

Em seguida, resolvemos a integral em y :
integraly=0^9 (9 - y) , dy = [9y - y^22]0^9 = (81 - 812) - (0 - 0) = 812
Agora, a integral fica:
V = integralx=-3^3 812 , dx

Passo 8

Finalmente, resolvemos a integral em x :
integralx=-3^3 812 , dx = 812 cdot (3 - (-3)) = 812 cdot 6 = 243

Resposta

O volume do sólido é 243 unidades cúbicas.

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