Determine o volume do sólido limitado por
e
, via integração tripla. Esboce os gráficos espacial e plano.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado pelas superfícies
,
,
e
. Para isso, vamos usar integração tripla, que é uma técnica da matemática para calcular volumes de formas mais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o sólido:
-
: Essa é uma parábola aberta para baixo no eixo . -
: Podemos reescrever como , que é um plano inclinado. -
: Esse é o plano onde é zero, ou seja, o eixo . -
: Esse é o plano .
Vamos visualizar essas superfícies juntas para entender melhor os limites do nosso sólido.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
,
e
.
Começando com
:
A equação
nos mostra que
, então
varia de
a
.
Para
:
Como
é um dos limites e a outra equação é
,
varia de
a
.
Para
:
Observando
e
,
varia de
a
.
Passo 4
Agora que temos os limites, vamos montar a integral tripla. A ordem de integração será
,
e
:
Mas na verdade, é mais fácil integrar na ordem
,
,
com os limites ajustados corretamente.
Passo 5
Vamos ajustar a ordem de integração para facilitar os cálculos. Integrando primeiro em
, depois em
e por último em
:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral interna em
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Em seguida, resolvemos a integral em
:
Agora, a integral fica:
Passo 8
Finalmente, resolvemos a integral em
:
Resposta
O volume do sólido é 243 unidades cúbicas.