Calcule a massa do sólido no octante limitado por e se a sua densidade volumétrica é dada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos) e que é limitado pelas superfícies , , , e . A densidade volumétrica desse sólido é dada por .
Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais triplas, para calcular a massa. Precisamos definir os limites de integração corretamente e então integrar a função de densidade sobre o volume do sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que significa calcular a massa de um sólido com densidade volumétrica . A massa é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume :
Neste caso, representa um elemento de volume infinitesimal.
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração para , e . Vamos analisar as restrições dadas:
: Estamos no primeiro octante, então é não negativo.
e : Isso define os limites de em termos de . Para cada , varia de até .
e : Para cada , varia de (já que estamos no primeiro octante) até .
Então, os limites de integração são:
varia de até o valor onde atinge . Resolvendo , temos .
Para cada , varia de até .
Para cada , varia de até .
Passo 4
Agora que temos os limites, podemos escrever a integral tripla para a massa: