Calcule a massa do sólido W no 1^0 octante limitado por y = x^2, y = 9, z = 9, x = 0 e y + z = 9 se a sua densidade volumétrica é dada por delta(x, y, x) = x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos) e que é limitado pelas superfícies , , , e . A densidade volumétrica desse sólido é dada por .
Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais triplas, para calcular a massa. Precisamos definir os limites de integração corretamente e então integrar a função de densidade sobre o volume do sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que significa calcular a massa de um sólido com densidade volumétrica . A massa é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume :
Neste caso, representa um elemento de volume infinitesimal.

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração para , e . Vamos analisar as restrições dadas:
  1. : Estamos no primeiro octante, então é não negativo.
  2. e : Isso define os limites de em termos de . Para cada , varia de até .
  3. e : Para cada , varia de (já que estamos no primeiro octante) até .
Então, os limites de integração são:
  • varia de até o valor onde atinge . Resolvendo , temos .
  • Para cada , varia de até .
  • Para cada , varia de até .

Passo 4

Agora que temos os limites, podemos escrever a integral tripla para a massa:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Simplificando:

Passo 7

Agora, a integral em relação a fica:
Vamos integrar termo a termo:
Então:

Passo 8

Agora, substituímos :
Calculando cada termo:
Somando os termos:

Resposta

A massa do sólido é unidades de massa.

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