Qual o volume do sólido acima do quadrado [0,1] x [0,1] e baixo do plano z = 2 x + y ?
(a) 1/2
(B) 3/2
© 5/2
(d) 7/2
(e) NRA

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está acima do quadrado no plano e abaixo do plano . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o volume que queremos é basicamente a “altura” do plano em cada ponto dentro do quadrado . Para achar o volume total, precisamos somar todas essas “alturas” ao longo de todo o quadrado. Isso é feito usando uma integral dupla sobre a região .

Passo 3

A fórmula para a integral dupla nesse caso é:
Aqui, é a função que representa a altura do plano , e estamos integrando primeiro em relação a de 0 a 1, e depois em relação a também de 0 a 1.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :

Resposta

O volume do sólido é . A opção correta é a (B) .

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