Seja W subset R^3, uma região compacta, representando um sólido. Suponhamos que a função de contínua e positiva representa a densidade volumétrica de massa (massa por unidade de volume). Então a massa de W é dada por: M(W)=integral triplaW de. Os momentos de inércia de W em relação aos eixos x, y e z são dados, respectivamente, por:
Ix=integral triplaW(y^2+z^2) cdot de
Seja W um sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=1, com z >= 0 e pelos planos y=z e z=0 com função de densidade de. Calcule a massa de W e o momento de inércia em relação ao eixo z.

Passo 1

Beleza, então o exercício que estamos vendo aqui fala sobre calcular a massa e o momento de inércia de um sólido no espaço tridimensional. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais triplas, pra resolver isso. A região que estamos analisando é limitada por um cilindro, alguns planos e tem uma função de densidade que depende das coordenadas. Vamos precisar entender bem os limites dessa região e aplicar as fórmulas apropriadas para encontrar a massa e o momento de inércia em relação ao eixo z.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está limitada pelo cilindro , que é um cilindro circular com raio 1 ao redor do eixo z. Além disso, temos que , o que significa que estamos trabalhando apenas na parte positiva do eixo z. Também temos os planos e . Então, a região é a parte do cilindro que está acima do plano e abaixo do plano .

Passo 3

Agora, vamos definir a função de densidade M(W) = integral triplaW y , dV . A massa do sólido será calculada através da integral tripla:
Onde é o elemento de volume. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , , e . Nessa mudança, .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas:
  • M(W) = integral0^pi/4 integral0^1 integral0^r sintheta (r sintheta) cdot r , dz , dr , dtheta varia de 0 a 1 (raio do cilindro).
  • varia de 0 a (porque o plano no cilindro limita a ).
  • varia de 0 a .
Então, a integral para a massa fica:
Aqui, e multiplicamos por devido à mudança de coordenadas.

Passo 5

Vamos resolver a integral começando por integral0^r sintheta dz = r sintheta :
M(W) = integral0^pi/4 integral0^1 (r sintheta) cdot r , dr , dtheta = integral0^pi/4 sintheta integral0^1 r^2 , dr , dtheta
Então, a integral para a massa simplifica para:
integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13
Calculando a integral em M(W) = 13 integral0^pi/4 sintheta , dtheta = 13 [ -costheta ]0^pi/4 = 13 ( -cospi4 + cos0 ) :
M(W) = 13 ( -raiz22 + 1 ) = 13 ( 1 - raiz22 )
Agora, substituímos de volta:
Sabemos que e , então:

Passo 6

Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo Iz = integral triplaW (x^2 + y^2) cdot y , dV , que é dado por:
Iz = integral triplaW (r^2) cdot (r sintheta) cdot r , dz , dr , dtheta = integral triplaW r^4 sintheta , dz , dr , dtheta
Novamente, mudando para coordenadas cilíndricas, temos:
Iz = integral0^pi/4 integral0^1 integral0^r sintheta r^4 sintheta , dz , dr , dtheta
Usando os mesmos limites de integração que determinamos para a massa:
integral0^r sintheta dz = r sintheta
Integrando em Iz = integral0^pi/4 integral0^1 r^4 sintheta cdot r sintheta , dr , dtheta = integral0^pi/4 sin^2theta integral0^1 r^5 , dr , dtheta :
integral0^1 r^5 , dr = [ r^66 ]0^1 = 16
Substituindo:
Iz = 16 integral0^pi/4 sin^2theta , dtheta
Calculando a integral em integral sin^2theta , dtheta = theta2 - sin(2theta)4 :
Iz = 16 [ pi8 - sin(pi2)4 - ( 0 - 0 ) ] = 16 ( pi8 - 14 )
Então:
Iz = 16 ( pi - 28 ) = pi - 248
Sabemos que:
Aplicando os limites:
Simplificando:

Resposta

A massa de é e o momento de inércia em relação ao eixo é .

Exercícios relacionados