Seja
, uma região compacta, representando um sólido. Suponhamos que a função
contínua e positiva representa a densidade volumétrica de massa (massa por unidade de volume). Então a massa de
é dada por:
. Os momentos de inércia de
em relação aos eixos
e
são dados, respectivamente, por:
Seja
um sólido limitado pelo cilindro
, com
e pelos planos
com função de densidade
. Calcule a massa de
e o momento de inércia em relação ao eixo
.
Passo 1
Beleza, então o exercício que estamos vendo aqui fala sobre calcular a massa e o momento de inércia de um sólido no espaço tridimensional. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais triplas, pra resolver isso. A região que estamos analisando é limitada por um cilindro, alguns planos e tem uma função de densidade que depende das coordenadas. Vamos precisar entender bem os limites dessa região e aplicar as fórmulas apropriadas para encontrar a massa e o momento de inércia em relação ao eixo z.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela está limitada pelo cilindro
, que é um cilindro circular com raio 1 ao redor do eixo z. Além disso, temos que
, o que significa que estamos trabalhando apenas na parte positiva do eixo z. Também temos os planos
e
. Então, a região
é a parte do cilindro que está acima do plano
e abaixo do plano
.
Passo 3
Agora, vamos definir a função de densidade
. A massa
do sólido será calculada através da integral tripla:
Onde
é o elemento de volume. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
. Nessa mudança,
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas:
-
varia de 0 a 1 (raio do cilindro). -
varia de 0 a (porque o plano no cilindro limita a ). -
varia de 0 a .
Então, a integral para a massa fica:
Aqui,
e multiplicamos por
devido à mudança de coordenadas.
Passo 5
Vamos resolver a integral começando por
:
Então, a integral para a massa simplifica para:
Calculando a integral em
:
Agora, substituímos de volta:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo
, que é dado por:
Novamente, mudando para coordenadas cilíndricas, temos:
Usando os mesmos limites de integração que determinamos para a massa:
Integrando em
:
Substituindo:
Calculando a integral em
:
Então:
Sabemos que:
Aplicando os limites:
Simplificando:
Resposta
A massa de
é
e o momento de inércia em relação ao eixo
é
.