Suponha que integrala^b g(x) d x=2 e integralc^d h(y) d y=-3. Suponha que f(x, y)=g(x) h(y). Seja R=[a, b] times[c, d]. Qual o valor de integral duplaR f(x, y) d A ?
(a) 5
(b) -1
© 1
(d) -9
(E) NRA

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos duas integrais definidas: uma de de a que resulta em 2, e outra de de a que resulta em -3. A função que estamos lidando é , e o domínio de integração é o retângulo formado por . Nosso objetivo é encontrar o valor da integral dupla . Para resolver isso, vamos usar propriedades de integrais duplas que envolvem o produto de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integrar uma função sobre um retângulo. Quando temos integral duplaR f(x, y) , dA = ( integrala^b g(x) , dx ) times ( integralc^d h(y) , dy ) , a integral dupla sobre o retângulo pode ser separada em duas integrais simples: uma em e outra em . Matematicamente, isso fica assim:
Essa propriedade funciona porque as funções e são independentes uma da outra.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que já conhecemos nas integrais simples. Sabemos que:
integrala^b g(x) , dx = 2
integralc^d h(y) , dy = -3
Substituindo na expressão da integral dupla:
integral duplaR f(x, y) , dA = (2) times (-3) = -6

Passo 4

Vamos conferir as opções disponíveis para ver qual delas corresponde ao valor que encontramos:
(a) 5
(b) -1
© 1
(d) -9
(E) NRA
Percebemos que -6 não está listado entre as alternativas fornecidas.

Resposta

(E) NRA

Exercícios relacionados