Calcule a massa do sólido W no primeiro octante limitado por y=x^2, y=9, z=0, x=0 e y+z=9 se a densidade é dada por rho(x, y, z)=x.

Passo 1

Enunciado e escopo: calcular a massa do sólido W no primeiro octante limitado por y= x², y=9, z=0, x=0 e y+z=9, sabendo que a densidade é dada por rho(x,y,z)=x. Vamos usar integral tripla e determinar os limites de integração.

Passo 2

Definição do domínio: no primeiro octante x>=0, y>=0, z>=0. A superfície y+z=9 implica z=9-y. Também temos y de x^2 até 9 e, como x^2<=9, segue xin[0,3]. Logo:
xin[0,3], yin[x^2,9], zin[0,9-y]

Passo 3

Montagem da integral tripla da massa:
M=integral triplaW rho(x,y,z),dV = integral0^3 integralx^2^9 integral0^9-y x,dz,dy,dx

Passo 4

Cálculo das integrações internas:
Integramos primeiro em z:
integral0^9-y x,dz = x(9-y)
Depois em y:
integralx^2^9 x(9-y),dy = x[9y - y^22]y=x^2^9 = x(812 - 9x^2 + x^42)
Assim ficamos com
M = integral0^3 (81x2 - 9x^3 + x^52),dx

Passo 5

Integração em x e combinação dos resultados:
integral0^3 81x2,dx = 7294, integral0^3 -9x^3,dx = -7294, integral0^3 x^52,dx = 2434
Somando tudo:
M = 7294 - 7294 + 2434 = 2434

Resposta

2434

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