Calcule a massa do sólido
, sendo a densidade dada por
.
Passo 1
Resumo do enunciado: o problema pede para calcular a massa do sólido definido por
, com
,
e
, usando densidade
. O conteúdo principal é o uso de integrais triplas para obter massa a partir de densidade.
Passo 2
Descrição da região e montagem da integral tripla: a região
é o tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano
. Logo podemos descrever
por:
e escrever a massa como
Passo 3
Integral em
: como
e
são constantes em relação a
, temos
Isso reduz a integral tripla a uma dupla em
e
.
Passo 4
Integral em
: substituímos o resultado e montamos
Para calcular a integral interna, expandimos:
Integrando termo a termo em
de 0 a
, obtemos
Passo 5
Integral final em
: resta calcular
Expandindo e integrando, temos
o que leva a
Resposta
A massa do sólido é
.