Calcule a massa do sólido x+y+z <= 1, x >= 0, y >= 0 e >= 0, sendo a densidade dada por rho(x, y, z)=x+y.

Passo 1

Resumo do enunciado: o problema pede para calcular a massa do sólido definido por x+y+z<= 1, com x>=0, y>=0 e z>=0, usando densidade rho(x,y,z)=x+y. O conteúdo principal é o uso de integrais triplas para obter massa a partir de densidade.

Passo 2

Descrição da região e montagem da integral tripla: a região R é o tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano x+y+z=1. Logo podemos descrever R por:
0<= z<=1-x-y,0<= y<=1-x,0<= x<=1,
e escrever a massa como
M=integral triplaR(x+y),dV=integralx=0^1integraly=0^1-xintegralz=0^1-x-y(x+y),dz,dy,dx

Passo 3

Integral em z: como x e y são constantes em relação a z, temos
integralz=0^1-x-y(x+y),dz=(x+y)l[zr]0^1-x-y=(x+y)(1-x-y)
Isso reduz a integral tripla a uma dupla em x e y.

Passo 4

Integral em y: substituímos o resultado e montamos
M=integral0^1integral0^1-x(x+y)(1-x-y),dy,dx
Para calcular a integral interna, expandimos:
(x+y)(1-x-y)=x-x^2-2xy+y-y^2
Integrando termo a termo em y de 0 a 1-x, obtemos
integral0^1-x(x-x^2-2xy+y-y^2),dy=(1-x)^2(1+2x)6

Passo 5

Integral final em x: resta calcular
M=integral0^1(1-x)^2(1+2x)6,dx=16integral0^1(1-3x^2+2x^3),dx
Expandindo e integrando, temos
integral0^1(1-3x^2+2x^3),dx=l[x-x^3+tfrac12x^4r]0^1=tfrac12,
o que leva a
M=16cdot12=112

Resposta

A massa do sólido é dfrac112.

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