Sabendo que y1(x)=x e y2(x)=x ln x formam um conjunto fundamental de soluções para x^2 y^prime prime-x y^prime+y=0 em (0,+infty), encontre a solução geral para a EDO não - homogênea:
x^2 y^prime prime-x y^prime+y=4 x ln x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Euler–Cauchy não homogênea
x^2y''-xy'+y=4xln x
e informa que as soluções fundamentais da homogênea
x^2y''-xy'+y=0
são
y1(x)=x e y2(x)=xln x.
Como queremos a solução geral da não homogênea, vamos usar o método de variação de constantes.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação em forma padrão
y''-1xy'+1x^2y=4ln xx
Aqui o termo não homogêneo é
g(x)=4ln xx

Passo 3

No método de variação de constantes procuramos
yp(x)=u1(x),y1(x)+u2(x),y2(x)
com as condições
u1',y1+u2',y2=0, u1',y1'+u2',y2'=g(x)
O Wronskiano é
W(x)= y1 & y2 y1' & y2' = x & xln x 1 & ln x+1 =x(ln x+1)-xln x =x

Passo 4

As fórmulas para u1' e u2' ficam
u1'=-y2,g(x)W=-xln x;l(4ln x/xr)x =-4ln^2xx,
u2'=y1,g(x)W=x;l(4ln x/xr)x =4ln xx

Passo 5

Integramos para obter u1 e u2.
Fazendo t=ln x e dt=dx/x,
u1=integral u1',dx =-4integralln^2xx,dx =-4integral t^2,dt =-tfrac43t^3 =-tfrac43(ln x)^3,
u2=integral u2',dx =4integralln xx,dx =4integral t,dt =2t^2 =2(ln x)^2

Passo 6

Montamos a solução particular
yp =u1y1+u2y2 =-tfrac43(ln x)^3,x +2(ln x)^2,xln x =l(2-tfrac43r)x(ln x)^3 =tfrac23,x(ln x)^3
Portanto a solução geral é
y(x) =C1,x +C2,xln x +tfrac23,x(ln x)^3

Resposta

y(x)=C1x+C2,xln x+23,x(ln x)^3

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