Como não há antiderivada elementar da função e^x^2, a integral
integral0^2 integraly2^1 e^x^2 d x d y
não pode ser calculada integrando-se primeiro em relação a x. Calcule essa integral expressando-a como uma integral iterada equivalente com ordem de integração invertida.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla onde a função e^x^2 é difícil de integrar com relação a x diretamente porque não tem uma antiderivada elementar. A integral dada é:
integral0^2 integraly2^1 e^x^2 , dx , dy
Nosso objetivo é calcular essa integral trocando a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x .

Passo 2

Para trocar a ordem de integração, precisamos entender a região de integração no plano xy . Atualmente, y varia de 0 a 2, e para cada y , x varia de y2 a 1.
Vamos desenhar essa região:
  1. y vai de 0 a 2.
  2. Para cada y , x vai de y2 a 1.
Isso forma um trapézio no plano xy . Agora, queremos expressar essa região com x variando primeiro e depois y .

Passo 3

Determinar os novos limites de integração:
  1. x varia de 0 a 1 (porque x no limite superior original é 1).
  2. Para cada x , y varia de 0 a 2x (já que x = y2 implica y = 2x ).
Portanto, a nova ordem de integração será x de 0 a 1 e y de 0 a 2x .

Passo 4

Reescrever a integral com a nova ordem de integração:
integral0^1 integral0^2x e^x^2 , dy , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar primeiro em relação a y . Como e^x^2 não depende de y , a integral em y é simples:
integral0^2x e^x^2 , dy = e^x^2 cdot (2x - 0) = 2x e^x^2

Passo 6

Substituir o resultado da primeira integral na segunda integral:
integral0^1 2x e^x^2 , dx

Passo 7

Agora, precisamos integrar 2x e^x^2 em relação a x . Note que:
ddx ( e^x^2 ) = 2x e^x^2
Então, a integral de 2x e^x^2 em relação a x é simplesmente e^x^2 :
integral 2x e^x^2 , dx = e^x^2 + C

Passo 8

Aplicar os limites de integração de 0 a 1:
e^x^2 gr|0^1 = e^1^2 - e^0^2 = e - 1

Resposta

A integral original calculada com a ordem de integração invertida é igual a e - 1 .

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