Como não há antiderivada elementar da função , a integral
não pode ser calculada integrando-se primeiro em relação a . Calcule essa integral expressando-a como uma integral iterada equivalente com ordem de integração invertida.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla onde a função é difícil de integrar com relação a diretamente porque não tem uma antiderivada elementar. A integral dada é:
Nosso objetivo é calcular essa integral trocando a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 2
Para trocar a ordem de integração, precisamos entender a região de integração no plano . Atualmente, varia de 0 a 2, e para cada , varia de a 1.
Vamos desenhar essa região:
vai de 0 a 2.
Para cada , vai de a 1.
Isso forma um trapézio no plano . Agora, queremos expressar essa região com variando primeiro e depois .
Passo 3
Determinar os novos limites de integração:
varia de 0 a 1 (porque no limite superior original é 1).
Para cada , varia de 0 a (já que implica ).
Portanto, a nova ordem de integração será de 0 a 1 e de 0 a .
Passo 4
Reescrever a integral com a nova ordem de integração:
Passo 5
Agora, vamos integrar primeiro em relação a . Como não depende de , a integral em é simples:
Passo 6
Substituir o resultado da primeira integral na segunda integral:
Passo 7
Agora, precisamos integrar em relação a . Note que:
Então, a integral de em relação a é simplesmente :
Passo 8
Aplicar os limites de integração de 0 a 1:
Resposta
A integral original calculada com a ordem de integração invertida é igual a e - 1 .