Determine o volume do sólido cuja base é a região no plano x y que é limitada pela parábola y=4 x^2 e pela reta y=3 x, enquanto o topo do sólido é limitado pelo plano z=x+4.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido cujo base é a região R no plano xy limitada pelas curvas
y = 4x^2
e
y = 3x,
e cujo topo é o plano
z = x + 4,
enquanto o fundo do sólido fica no plano z=0.
Para encontrar esse volume, usamos o fato de que
V = integral duplaR l(ztopo - zfundor),dA =integral duplaR (x+4),dA

Passo 2

Precisamos descrever R como um domínio em coordenadas cartesianas.
Igualando as curvas para achar os pontos de interseção:
4x^2 = 3x Longrightarrow x(4x - 3) = 0 Longrightarrow x = 0 ou x = tfrac34
Em cada x entre 0 e tfrac34, a ordenada y varia de y=4x^2 até y=3x. Logo,
R = l(x,y)mid 0<= x<=tfrac34,;4x^2<= y<= 3xr

Passo 3

Montamos o integral iterado para o volume:
V = integralx=0^3/4!integraly=4x^2^3x (x+4),dy,dx

Passo 4

Primeiro integramos em y:
integraly=4x^2^3x(x+4),dy =(x+4)l[,yr]y=4x^2^y=3x =(x+4)l(3x - 4x^2r) =-4x^3 -13x^2 +12x
Assim
V = integral0^3/4l(-4x^3 -13x^2 +12xr),dx

Passo 5

Agora calculamos o integral em x. A antiderivada é
integrall(-4x^3 -13x^2 +12xr),dx =-x^4 -tfrac133x^3 +6x^2 + C
Avaliando de 0 a tfrac34:
V =l[-x^4 -tfrac133x^3 +6x^2r]0^3/4 =-l(tfrac34r)^4 -tfrac133l(tfrac34r)^3 +6l(tfrac34r)^2 =315256

Resposta

V = 315256

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