Use a sequência de somas parciais para determinar se a série
converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge usando a sequência de somas parciais; o conteúdo principal é séries numéricas e telescoping, e vamos precisar de decomposição em frações parciais e cálculo de limite de soma parcial.
Passo 2
Para facilitar o somatório, fazemos a decomposição em frações parciais. Queremos achar constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Escolhendo valores convenientes ou comparando coeficientes, vemos que
e
. Assim,
Passo 3
Agora, calculamos a soma parcial
. Substituindo a forma telescópica, temos
Ao escrever os primeiros termos:
os termos intermediários se cancelam, restando
Passo 4
Por fim, analisamos o limite de
quando
:
Como a sequência de somas parciais converge para um valor finito (
), concluímos que a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série converge e seu valor é
.