Use a sequência de somas parciais para determinar se a série sumn=1^infty 1(n+1)(n+2) converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty 1(n+1)(n+2) converge ou diverge usando a sequência de somas parciais; o conteúdo principal é séries numéricas e telescoping, e vamos precisar de decomposição em frações parciais e cálculo de limite de soma parcial.

Passo 2

Para facilitar o somatório, fazemos a decomposição em frações parciais. Queremos achar constantes A e B tais que
1(n+1)(n+2) = An+1 + Bn+2
Multiplicando ambos os lados por (n+1)(n+2), obtemos
1 = A(n+2) + B(n+1)
Escolhendo valores convenientes ou comparando coeficientes, vemos que A=1 e B=-1. Assim,
1(n+1)(n+2) = 1n+1 - 1n+2

Passo 3

Agora, calculamos a soma parcial SN = sumn=1^N 1(n+1)(n+2). Substituindo a forma telescópica, temos
SN = sumn=1^Nl(1n+1 - 1n+2r)
Ao escrever os primeiros termos:
SN = l(tfrac12 - tfrac13r) + l(tfrac13 - tfrac14r) + cdots + l(tfrac1N+1 - tfrac1N+2r)
os termos intermediários se cancelam, restando
SN = 12 - 1N+2

Passo 4

Por fim, analisamos o limite de SN quando N to infty:
limNtoinfty SN = limNtoinftyl(12 - 1N+2r) = 12 - 0 = 12
Como a sequência de somas parciais converge para um valor finito ( tfrac12), concluímos que a série converge e sua soma é tfrac12.

Resposta

A série converge e seu valor é tfrac12.

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