Considere a integral tripla iterada
(a) Transforme a integral utilizando coordenadas cilíndricas.
(b) Calcule a integral.
(c) Descreva o sólido cujo volume é dado por essa integral.
(b) Calcule a integral.
(c) Descreva o sólido cujo volume é dado por essa integral.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral tripla iterada
O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas e cálculo de volume de um sólido delimitado pelas superfícies
e
.
Passo 2
Para usar coordenadas cilíndricas definimos
com o jacobiano
. A projeção no plano
é o disco
As superfícies que limitam
tornam-se
Passo 3
Substituindo na integral, obtemos em coordenadas cilíndricas:
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Depois em
:
Por fim em
:
Passo 5
O sólido é a região entre o paraboloide ascendente
e o paraboloide descendente
limitada pela curva de interseção
(círculo de raio
) onde
. É um “sanduíche” simétrico em torno do eixo
.
Resposta
(a)
(b)
(c) Região entre os paraboloides e
, limitada pela curva
.
(b)
(c) Região entre os paraboloides