Considere a integral tripla iterada
integral-raiz2^raiz2 integral-raiz2-x^2^raiz2-x^2 integralx^2+y^2^4-x^2-y^2 d z d y d x
(a) Transforme a integral utilizando coordenadas cilíndricas.
(b) Calcule a integral.
(c) Descreva o sólido cujo volume é dado por essa integral.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral tripla iterada
integral-raiz2^raiz2 integral-raiz2-x^2^raiz2-x^2 integralx^2+y^2^4-x^2-y^2 dz,dy,dx
O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas e cálculo de volume de um sólido delimitado pelas superfícies z=x^2+y^2 e z=4-(x^2+y^2).

Passo 2

Para usar coordenadas cilíndricas definimos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
com o jacobiano r. A projeção no plano xy é o disco
x^2+y^2<=2 Longrightarrow 0<= r<=raiz2, 0<=theta<=2pi
As superfícies que limitam z tornam-se
zinf=r^2, zsup=4-r^2

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos em coordenadas cilíndricas:
integraltheta=0^2pi integralr=0^raiz2 integralz=r^2^4-r^2 r ,dz,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em z:
integralr^2^4-r^2r,dz = rl[(4-r^2)-r^2r] = r,(4-2r^2) =4r-2r^3
Depois em r:
integral0^raiz2(4r-2r^3),dr = l[2r^2-tfrac12r^4r]0^raiz2 =2cdot2-tfrac12cdot4 =4-2=2
Por fim em theta:
integral0^2pi2,dtheta =4pi

Passo 5

O sólido é a região entre o paraboloide ascendente
z=x^2+y^2
e o paraboloide descendente
z=4-(x^2+y^2),
limitada pela curva de interseção x^2+y^2=2 (círculo de raio raiz2) onde z=2. É um “sanduíche” simétrico em torno do eixo z.

Resposta

(a) integral0^2piintegral0^raiz2integralr^2^4-r^2r,dz,dr,dtheta
(b) 4pi
(c) Região entre os paraboloides z=x^2+y^2 e z=4-(x^2+y^2), limitada pela curva x^2+y^2=2.

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