Calcule a massa da superfície cuja densidade é de<a(x, y, z)=raiz4-x^2-y^21+x^2+y^2 que tem a forma da região do gráfico de z=x y que está limitada pelo cilindro x^2+y^2=2 x.

Passo 1

O enunciado pede a massa da superfície definida pelo gráfico z=xy com densidade de<a(x,y,z)=raiz4-x^2-y^21+x^2+y^2, limitada pelo cilindro x^2+y^2=2x. O conteúdo da matéria envolve integrals de superfície parametricamente definidas, cálculo de elemento de área dS e mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Parametrizamos a superfície por
r(x,y) = (x,y,xy),
onde (x,y) varia na região D do plano definida por x^2+y^2=2x. Calculamos
partial rpartial x=(1,0,y), partial rpartial y=(0,1,x),
de onde
dS = |rxtimesry|,dx,dy = raiz1+y^2+x^2;dx,dy = raiz1+x^2+y^2;dx,dy

Passo 3

A massa é
M = integral duplaSde<a,dS = integral duplaD raiz4-x^2-y^21+x^2+y^2, raiz1+x^2+y^2;dx,dy = integral duplaDraiz4-(x^2+y^2);dx,dy

Passo 4

Para descrever D em coordenadas polares usamos x=rcostheta, y=rsintheta. A curva x^2+y^2=2x vira
r^2=2rcostheta Longrightarrow r=2costheta,
com r>=0 e thetain[-tfracpi2,tfracpi2]. Assim
M = integral-pi/2^pi/2integral0^2costheta raiz4-r^2;r,dr,dtheta

Passo 5

Calculemos o integral em r:
integral0^arraiz4-r^2,dr = -13l(4-r^2r)^3/2|0^a = 13l(4^3/2-(4-a^2)^3/2r)
Com a=2costheta temos 4-a^2=4sin^2theta e (4sin^2theta)^3/2=8|sin^3theta|. Logo
integral0^2costhetarraiz4-r^2,dr =13l(8 - 8|sin^3theta|r) =83l(1-|sin^3theta|r)
Portanto
M = integral-pi/2^pi/283l(1-|sin^3theta|r),dtheta =83integral-pi/2^pi/2l(1-|sin^3theta|r),dtheta

Passo 6

Usando a simetria de |sin^3theta| em [-tfracpi2,tfracpi2],
integral-pi/2^pi/2l(1-|sin^3theta|r),dtheta =2integral0^pi/2l(1-sin^3thetar),dtheta =2l[pi2-integral0^pi/2sin^3theta,dthetar]
Sabendo que integral0^pi/2sin^3theta,dtheta=2/3, segue
integral-pi/2^pi/2l(1-|sin^3theta|r),dtheta =2l(pi2-23r) =pi-43
Logo
M = 83l(pi-43r) = 8pi3-329 = 24pi-329

Resposta

M = 24pi - 329

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