Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial (PVI):
y^prime-3 y=0, y(0)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y' - 3y = 0, y(0)=5
Trata-se de uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem e homogênea. Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevendo a equação, obtemos
dydx = 3y
Isso já mostra que podemos separar as variáveis y e x.

Passo 3

Separamos variáveis e integramos em ambos os lados:
integral 1y,dy = integral 3,dx
lnlvert yrvert = 3x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponenciando ambos os lados,
lvert yrvert = e^3x + C = e^C,e^3x
Como queremos a solução geral para y, escrevemos
y = Ce^3x,
sendo agora C uma constante (que pode ser positiva ou negativa). Para determinar C, usamos a condição inicial y(0)=5:
y(0) = Ce^0 = C = 5

Resposta

y(x) = 5e^3x

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