Calcule a massa da superfície S dada, com função densidade rho.
rho(x, y, z)=z e S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=1, z >= 0.

Passo 1

O enunciado pede a massa da superfície S definida pelo hemisfério
x^2+y^2+z^2=1, z>=0
com densidade rho(x,y,z)=z. Vamos usar um integral de superfície na parametrização esférica para calcular
massa=integral duplaSrho,dS=integral duplaSz,dS

Passo 2

Parametrizamos
com . Nessa parametrização, o elemento de área é

Passo 3

Na integral de massa, rho=z=cosphi. Logo o integrando fica
z,dS = cosphi;sinphi,dphi,dtheta

Passo 4

Calculamos a integral dupla separando os limites de theta e phi:
integral duplaSz,dS =integraltheta=0^2pi!!integralphi=0^pi/2cosphisinphi,dphi,dtheta =l(integral0^2pidthetar) l(integral0^pi/2cosphisinphi,dphir)
No segundo fator, use substituição u=sinphi, de modo que du=cosphi,dphi. Então
integral0^pi/2cosphisinphi,dphi =integralu=0^1u,du =12,
E o primeiro fator é simplesmente 2pi. Assim
massa=2pi;times;12=pi

Resposta

A massa da superfície é pi.

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