Calcule a massa total M, o centro da massa (x, y) da lâmina que tem a forma da região D limitada pela parábola x=y^2 e pela reta x=4 e que tem densidade de<a(x, y)=x.

Passo 1

Temos uma lâmina na região
D = (x,y)mid y^2<= x<= 4,,-2<= y<= 2
com densidade de<a(x,y)=x.
Queremos a massa
M = integral duplaD de<a(x,y),dA
e o centro de massa dado por
xcm=1Mintegral duplaD x,de<a(x,y),dA, ycm=1Mintegral duplaD y,de<a(x,y),dA

Passo 2

Calcular a massa
M = integraly=-2^2integralx=y^2^4 x ,dx,dy
Integrando em x:
integralx=y^2^4 x,dx =tfrac12x^2|x=y^2^4 =tfrac12l(16 - y^4r)
Então
M =integral-2^2tfrac12l(16 - y^4r),dy =tfrac12l[16,(2-(-2)) - integral-2^2y^4,dyr]
Como
integral-2^2y^4,dy=2integral0^2y^4,dy=2cdot2^55=645,
vem
M =tfrac12l[16cdot4 - tfrac645r] =tfrac12l[tfrac320-645r] =tfrac25610 =1285

Passo 3

Calcular o momento para xcm:
integral duplaD x,de<a(x,y),dA =integral duplaD x^2,dA =integraly=-2^2integralx=y^2^4x^2,dx,dy
Integrando em x:
integraly^2^4x^2,dx =tfrac13x^3|x=y^2^4 =tfrac13l(64 - y^6r)
Logo
integral duplaDx^2,dA =integral-2^2tfrac13l(64 - y^6r),dy =tfrac13l[64cdot4 - integral-2^2y^6,dyr]
Como
integral-2^2y^6,dy=2integral0^2y^6,dy=2cdot2^77=2567,
segue
integral duplaDx^2,dA =tfrac13l[256 - tfrac2567r] =tfrac13cdottfrac15367 =5127
Portanto
xcm =1Mintegral duplaDx^2,dA =51271285 =5127cdot5128 =4cdot57 =207

Passo 4

Calcular o momento para ycm:
integral duplaDy,de<a(x,y),dA =integral duplaDx,y,dA
Por simetria em y (o domínio vai de -2 a 2 e a densidade em y é ímpar), este integral é zero. Logo
ycm=0

Resposta

Massa total: M=1285
Centro de massa:
(xcm,ycm) =l(tfrac207,,0r)

Exercícios relacionados