Passe para coordenadas polares e calcule:
I=integral0^a integral0^raiza^2-x^2 raiza^2-x^2-y^2 d y d x, a>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I=integral0^aintegral0^raiza^2-x^2raiza^2-x^2-y^2;dy;dx, a>0
usando coordenadas polares. O conteúdo principal é a mudança de variável e o uso do Jacobiano para integrar sobre um setor circular.

Passo 2

Em coordenadas polares usamos
x=rcostheta, y=rsintheta,
com Jacobiano dx,dy=r,dr,dtheta. A região de integração é o quarto de disco de raio a no primeiro quadrante, isto é
0<= r<= a, 0<=theta<= pi2

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando fica raiza^2-r^2 e o elemento de área é r,dr,dtheta. Então
I=integral0^pi/2integral0^araiza^2-r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Calcule primeiro a integral em r:
integral0^arraiza^2-r^2;dr
Use a substituição u=a^2-r^2, de modo que du=-2r,dr. Isso dá
integral0^arraiza^2-r^2,dr =12integrala^2^0raizu;(-du) =12integral0^a^2u^1/2,du =12cdot23u^3/2|0^a^2 =a^33

Passo 5

Agora integre em theta:
I=integral0^pi/2a^33;dtheta =a^33cdotpi2 =pi a^36

Resposta

I=pi a^36

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