Determine quais expressões são polinômios:
(4 x^2-1)^15

Passo 1

O enunciado pede para verificar se (4x^2-1)^15 é um polinômio em R[x]. O conteúdo envolve a definição de polinômio (soma finita de termos anx^n com ninN) e o uso do Teorema Binomial.

Passo 2

Observamos que a expressão interna 4x^2-1 já é um polinômio de grau 2 e que, em geral, elevar um polinômio a um expoente natural (aqui 15) gera outro polinômio.

Passo 3

Para deixar explícito, aplicamos o Teorema Binomial:
(4x^2-1)^15 ;=;sumk=0^15 binom15k(4x^2)^k(-1)^15-k ;=;sumk=0^15(-1)^15-kbinom15k4^k,x^2k
Cada termo é da forma Ck,x^2k com k=0,1,dots,15, ou seja, uma soma finita de potências inteiras não negativas de x.

Passo 4

Logo, (4x^2-1)^15 é de fato um polinômio em x, de grau 2cdot15=30.

Resposta

A expressão (4x^2-1)^15 é um polinômio de grau 30.

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