Questão 2

Considere as seguintes séries:
\begin{aligned} & \text { I. } \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)}{5^{n} n!} \\\ & \text { II. } \quad \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n}{3 n-1}\right) \\\ & \text { III. } \quad \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln (n))^{2}} \end{aligned}
Agora sublinhe a opção correta:
  • Apenas a série III é convergente
  • Todas são convergentes
  • Apenas II e III são convergentes
  • Apenas as séries I e II são convergentes
  • Apenas I e III são convergentes
  • Apenas série I é convergente
  • Todas as séries são divergentes
  • Apenas II é convergente aqui
Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado apresenta três séries infinitas e pede para determinar quais delas convergem:
I. \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{5^{n}\,n!}
II. \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\biggl(\frac{n}{3n-1}\biggr)
III. \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\bigl(\ln n\bigr)^{2}}
Vamos usar, respectivamente, o teste da razão (ou reconhecimento de série binomial), o teste da divergência (termo não nulo) e o teste da integral para decidir convergência.

Passo 2

Analisando a série I, note que
1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1) =\frac{(2n)!}{2^n\,n!},
logo o termo geral é
a_n=\frac{(2n)!}{2^n\,n!\;5^n\,n!} =\frac{(2n)!}{n!\,n!}\,\frac{1}{10^n} =\binom{2n}{n}\frac{1}{10^n}.
Pelo teste da razão,
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\binom{2n+2}{\,n+1\,}}{\binom{2n}{n}}\cdot\frac{1}{10} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\; \frac{4}{10}=0,4<1,
logo a série I converge absolutamente.

Passo 3

Na série II, o termo geral é
b_n=\ln\!\biggl(\frac{n}{3n-1}\biggr).
Como
\lim_{n\to\infty}b_n =\ln\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)\neq0,
o termo não tende a zero e pelo teste da divergência a série II diverge.

Passo 4

Para a série III, aplicamos o teste da integral: considere
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^2}.
Fazendo t=\ln x, tem-se dt=dx/x e a integral vira
\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{dt}{t^2} =\Bigl[-\tfrac1t\Bigr]_{\ln 2}^{\infty} =\frac{1}{\ln 2}<\infty.
Logo a série \sum 1/(n(\ln n)^2) converge.

Passo 5

Concluímos que I e III convergem e II diverge.

Resposta

Apenas I e III são convergentes.

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