Considere o movimento de um pêndulo duplo invertido nas proximidades do equilíbrio
. Aplicando forças de feedback restauradoras, ele é aproximado pelo sistema de EDOs
onde
.
Dizemos que o pêndulo é estável quando toda solução
desse sistema é limitada para
.
a)
Mostre que as quatro raízes características do sistema são
b)
Mostre que para
o pêndulo é estável.
c)
pêndulo é estável para
?
d)
pêndulo é estável para
?
Dizemos que o pêndulo é estável quando toda solução
a)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá o sistema de EDOs lineares de segunda ordem em
com parâmetro
).
Passo 2
Procuramos soluções do tipo
Substituindo no sistema, obtemos em forma matricial
onde
Para existirem soluções não triviais, deve valer
.
Passo 3
Calculamos o determinante:
Isso leva à equação em
:
Passo 4
Da equação
segue
Logo as raízes são
Passo 5
Para
temos
e
. Assim
todas as raízes são puramente imaginárias, gerando oscilações limitadas. Portanto, para
o pêndulo é estável.
Passo 6
Se
, então
e pelo menos uma de
ou
é positiva, gerando uma raiz real não nula. Isso produz termos exponenciais crescentes e, consequentemente, soluções não limitadas. Logo, para
o pêndulo não é estável.
Passo 7
No caso
as raízes tornam-se
A raiz
de multiplicidade 2 introduz soluções do tipo constante e do tipo
, o que cresce sem limite. Portanto, para
o pêndulo também não é estável.
Resposta
(a) As raízes são
e
.
(b) Para o pêndulo é estável.
(c) Para não é estável.
(d) Para não é estável.
(b) Para
(c) Para
(d) Para