Considere o movimento de um pêndulo duplo invertido nas proximidades do equilíbrio \theta_{1}=\theta_{2}=\pi. Aplicando forças de feedback restauradoras, ele é aproximado pelo sistema de EDOs
\left\{\begin{array}{l} \beta_{1}^{\prime \prime}=4 \beta_{1}-\beta_{2}-k \beta_{1} \\\ \beta_{2}^{\prime \prime}=-\beta_{1}+4 \beta_{2}-k \beta_{2} \end{array}\right.
onde k>0.
Dizemos que o pêndulo é estável quando toda solução \beta_{1}(t), \beta_{2}(t) desse sistema é limitada para t \geq 0.
a) [1,0] Mostre que as quatro raízes características do sistema são
\pm \sqrt{5-k}, \quad \pm \sqrt{3-k}
b) [1,0] Mostre que para k>5 o pêndulo é estável.
c) [1,0] \mathrm{O} pêndulo é estável para k<5 ?
d) [1,0] \mathrm{O} pêndulo é estável para k=5 ?

Passo 1

O enunciado dá o sistema de EDOs lineares de segunda ordem em \beta_{1}(t)\) e \(\beta_{2}(t)\): \[\begin{cases} \beta_{1}''=(4-k)\,\beta_{1}-\beta_{2},\\\ \beta_{2}''=-\beta_{1}+(4-k)\,\beta_{2}, \end{cases}
com parâmetro k>0\]. O conteúdo é o de sistemas lineares com coeficientes constantes; para resolver precisamos achar as raízes do polinômio característico e, com elas, analisar a estabilidade (soluções limitadas em \(t\ge0).

Passo 2

Procuramos soluções do tipo
\beta_{i}(t)=v_{i}e^{r t},\quad i=1,2.
Substituindo no sistema, obtemos em forma matricial
\bigl(r^{2}I - A\bigr)\begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix}=0,
onde
A=\begin{pmatrix}4-k & -1\\\ -1 & 4-k\end{pmatrix}.
Para existirem soluções não triviais, deve valer \det(r^{2}I-A)=0.

Passo 3

Calculamos o determinante:
\det\bigl(r^{2}I-A\bigr) =\det\begin{pmatrix}r^{2}-(4-k) & 1\\\ 1 & r^{2}-(4-k)\end{pmatrix} =\bigl(r^{2}-(4-k)\bigr)^{2}-1=0.
Isso leva à equação em r^{2}:
\bigl(r^{2}-(4-k)\bigr)^{2}=1.

Passo 4

Da equação \bigl(r^{2}-(4-k)\bigr)^{2}=1 segue
r^{2}-(4-k)=\pm1 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}=4-k\pm1.
Logo as raízes são
r=\pm\sqrt{5-k},\quad r=\pm\sqrt{3-k}.

Passo 5

Para k>5 temos 5-k<0 e 3-k<0. Assim
r=\pm i\sqrt{k-5},\quad r=\pm i\sqrt{k-3},
todas as raízes são puramente imaginárias, gerando oscilações limitadas. Portanto, para k>5 o pêndulo é estável.

Passo 6

Se k<5, então 5-k>0 e pelo menos uma de 5-k ou 3-k é positiva, gerando uma raiz real não nula. Isso produz termos exponenciais crescentes e, consequentemente, soluções não limitadas. Logo, para k<5 o pêndulo não é estável.

Passo 7

No caso k=5 as raízes tornam-se
r=\pm\sqrt{0}=0 \quad\text{e}\quad r=\pm i\sqrt{2}.
A raiz r=0 de multiplicidade 2 introduz soluções do tipo constante e do tipo t, o que cresce sem limite. Portanto, para k=5 o pêndulo também não é estável.

Resposta

(a) As raízes são \pm\sqrt{5-k} e \pm\sqrt{3-k}.
(b) Para k>5 o pêndulo é estável.
(c) Para k<5 não é estável.
(d) Para k=5 não é estável.

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