O movimento de uma membrana circular elástica, como a membrana de um tambor, é determinado pela equação da onda bidimensional em coordenadas polares.
u_{r r}+\frac{1}{r} u_{r}+\frac{1}{r^{2}} u_{\theta \theta}=\frac{1}{v^{2}} u_{t t} ; 0 \leq r \leq R, 0 \leq \theta \leq 2 \pi, t \geq 0
a) Supondo
u(r, \theta, t)=F(r, \theta) \cdot T(t), e fazendo a constante de separação entre tempo e espaço igual a
-\lambda, mostre que as equações diferenciais para
F(r, \theta) e para
T(t) são:
F_{r r}+\frac{1}{r} F_{r}+\frac{1}{r^{2}} F_{\theta \theta}+\lambda F=0 \text { e } \frac{d^{2} T}{d t^{2}}+\lambda v^{2} T=0
b) Na equação diferencial parcial para
F(r, \theta), suponha
F(r, \theta)=
R(r) \Theta(\theta), e fazendo a constante de separação igual a
\delta, obtenha as seguintes equações para
R(r) e
\Theta(\theta) :
r^{2} \frac{d^{2} R}{d r^{2}}+r \frac{d R}{d r}+\left(\lambda r^{2}-\delta\right) R=0 \text { e } \frac{d^{2} \Theta}{d \theta^{2}}+\delta \Theta=0
c) Na equação diferencial para
R(r), faça agora
\lambda=\alpha^{2}, \delta=\nu^{2}, e a mudança de variável
u=\alpha r, obtenha a seguinte equação diferencial:
u^{2} \frac{d^{2} R}{d u^{2}}+u \frac{d R}{d u}+\left(u^{2}-\nu^{2}\right) R=0
que é uma equação de Bessel de ordem
\nu, para
R(u).
d) Sabendo que a solução geral da equação de Bessel
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+\left(x^{2}-\nu^{2}\right) y=0
é
y=A J_{\nu}(x)+B Y_{\nu}(x), escreva a solução geral da equação diferencial para
R(r).
e) Substitua agora, na equação diferencial para
\theta(\theta) que você obteve anteriormente,
\delta por
\nu^{2}. Escreva a solução geral desta equação diferencial. O que podemos concluir a respeito de
\nu, devido ao fato de que esta solução deve ser periódica, com período
2 \pi, isto é,
\Theta(\theta+2 \pi)=\Theta(\theta) ?
f) Por fim, substitua
\lambda por
\alpha^{2} na equação diferencial para
T(t) e escreva sua solução geral.