Calcule \mathcal{L}\{f\}, onde f é dada por:
f(t)= \begin{cases}0, & 0 \leq t<\pi \\\\ 1, & \pi \leq t<2 \pi \\\\ 0, & t \geq 2 \pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= \begin{cases} 0, & 0 \le t<\pi,\\\\ 1, & \pi \le t<2\pi,\\\\ 0, & t\ge2\pi. \end{cases}
O conteúdo aqui é a definição da transformada de Laplace e o uso de integração sobre trechos onde f(t) é não nula.

Passo 2

Pela definição,
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt.
Como f(t)=0 em [0,\pi) e em [2\pi,\infty), só precisamos integrar em [\pi,2\pi]:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{\pi}^{2\pi}1\cdot e^{-st}\,dt.

Passo 3

Calculando a integral:
\int_{\pi}^{2\pi}e^{-st}\,dt =\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{t=\pi}^{t=2\pi} =-\frac{1}{s}\bigl(e^{-2\pi s}-e^{-\pi s}\bigr) =\frac{e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}}{s}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}}{s}.}

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