Encontrea soluçāo geral da equaçāo.
y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}=\tan t, \quad 0<t<\pi

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de terceira ordem não homogênea
y'''+y'=\tan t,\quad 0<t<\pi.
O conteúdo envolve equações diferenciais com coeficientes constantes e método de redução de ordem junto com variação de parâmetros para resolver a parte não homogênea.

Passo 2

Começamos pela homogênea
y'''+y'=0.
A equação característica é
m^3+m=m(m^2+1)=0,
cuja raízes são m=0 e m=\pm i. Logo a solução geral da parte homogênea é
y_h(t)=C_1 + C_2\cos t + C_3\sin t.

Passo 3

Para tratar a parte não homogênea, definimos u=y'. Então
u''+u=\tan t.
As soluções da homogênea associada são y_1=\cos t e y_2=\sin t com Wronskiano W=1. Pelas fórmulas de variação de parâmetros:
u_p=-\cos t\int \sin t\tan t\,dt \;+\;\sin t\int \cos t\tan t\,dt.
Calcula-se
\int \sin t\tan t\,dt =\int\bigl(\operatorname{sec} t -\cos t\bigr)dt =\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|-\sin t,
\int \cos t\tan t\,dt =\int \sin t\,dt =-\cos t.
Logo
u_p =-\cos t\bigl[\ln|\operatorname{sec} t+\tan t|-\sin t\bigr] +\sin t\bigl(-\cos t\bigr) =-\cos t\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|.
Portanto a solução geral de u é
u(t)=y'(t)=A\cos t + B\sin t - \cos t\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|.

Passo 4

Integramos u=y' para obter y:
y(t) =\int\bigl[A\cos t + B\sin t - \cos t\ln(\operatorname{sec} t+\tan t)\bigr]dt.
As duas primeiras integrais dão A\sin t -B\cos t. Para
\displaystyle \int \cos t\ln(\operatorname{sec} t+\tan t)\,dt,
fazemos integração por partes com u=\ln(\operatorname{sec} t+\tan t), dv=\cos t\,dt, resultando em
\int \cos t\ln(\operatorname{sec} t+\tan t)\,dt =\sin t\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|+\ln\bigl|\cos t\bigr|.
Logo
y(t) =A\sin t - B\cos t - \sin t\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr| - \ln\bigl|\cos t\bigr| + C.
Renomeando as constantes como C_1,C_2,C_3, obtemos a forma final.

Resposta

y(t) =C_1 + C_2\cos t + C_3\sin t \;-\;\sin t\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr| \;-\;\ln\bigl|\cos t\bigr|.

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