O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de terceira ordem não homogênea
y'''+y'=\tan t,\quad 0<t<\pi.
O conteúdo envolve equações diferenciais com coeficientes constantes e método de redução de ordem junto com variação de parâmetros para resolver a parte não homogênea.
Passo 2
Começamos pela homogênea
y'''+y'=0.
A equação característica é
m^3+m=m(m^2+1)=0,
cuja raízes são m=0 e m=\pm i. Logo a solução geral da parte homogênea é
y_h(t)=C_1 + C_2\cos t + C_3\sin t.
Passo 3
Para tratar a parte não homogênea, definimos u=y'. Então
u''+u=\tan t.
As soluções da homogênea associada são y_1=\cos t e y_2=\sin t com Wronskiano W=1. Pelas fórmulas de variação de parâmetros:
u(t)=y'(t)=A\cos t + B\sin t - \cos t\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|.
Passo 4
Integramos u=y' para obter y:
y(t) =\int\bigl[A\cos t + B\sin t - \cos t\ln(\operatorname{sec} t+\tan t)\bigr]dt.
As duas primeiras integrais dão A\sin t -B\cos t. Para \displaystyle \int \cos t\ln(\operatorname{sec} t+\tan t)\,dt,
fazemos integração por partes com u=\ln(\operatorname{sec} t+\tan t), dv=\cos t\,dt, resultando em