Se \varphi=x y^{3} z^{4} e \vec{r}=x z \vec{\imath}-y^{3} x \vec{\jmath}+3 x y^{2} z \vec{k}, calcular:
\nabla \varphi

Passo 1

O enunciado dá o campo escalar \varphi = x\,y^3\,z^4 e pede o gradiente de \varphi. O conteúdo é cálculo vetorial: a definição do gradiente em coordenadas cartesianas usa as derivadas parciais de \varphi em relação a x, y e z.

Passo 2

A definição do gradiente em coordenadas cartesianas é
\nabla \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x}\,\vec{\imath} + \frac{\partial \varphi}{\partial y}\,\vec{\jmath} + \frac{\partial \varphi}{\partial z}\,\vec{k}.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de \varphi em relação a x:
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y^3\,z^4\bigr) = y^3\,z^4.

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de \varphi em relação a y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y^3\,z^4\bigr) = 3\,x\,y^2\,z^4.

Passo 5

Calculamos a derivada parcial de \varphi em relação a z:
\frac{\partial \varphi}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\,y^3\,z^4\bigr) = 4\,x\,y^3\,z^3.

Passo 6

Substituindo essas componentes na definição do gradiente, obtemos
\nabla \varphi = y^3\,z^4\,\vec{\imath} + 3\,x\,y^2\,z^4\,\vec{\jmath} + 4\,x\,y^3\,z^3\,\vec{k}.

Resposta

\nabla \varphi = y^3 z^4\,\vec{\imath} + 3 x y^2 z^4\,\vec{\jmath} + 4 x y^3 z^3\,\vec{k}.

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