O movimento de uma membrana circular elástica, como a membrana de um tambor, é determinado pela equação da onda bidimensional em coordenadas polares.
a) Supondo
, e fazendo a constante de separação entre tempo e espaço igual a
, mostre que as equações diferenciais para
e para
são:
b) Na equação diferencial parcial para
, suponha
, e fazendo a constante de separação igual a
, obtenha as seguintes equações para
e
:
c) Na equação diferencial para
, faça agora
, e a mudança de variável
, obtenha a seguinte equação diferencial:
que é uma equação de Bessel de ordem
, para
.
d) Sabendo que a solução geral da equação de Bessel
é
, escreva a solução geral da equação diferencial para
.
e) Substitua agora, na equação diferencial para
que você obteve anteriormente,
por
. Escreva a solução geral desta equação diferencial. O que podemos concluir a respeito de
, devido ao fato de que esta solução deve ser periódica, com período
, isto é,
f) Por fim, substitua
por
na equação diferencial para
e escreva sua solução geral.
d) Sabendo que a solução geral da equação de Bessel
e) Substitua agora, na equação diferencial para
f) Por fim, substitua
Passo 1
O enunciado dá a equação da onda em coordenadas polares
e pede solução por separação de variáveis. Vamos primeiro separar a dependência temporal e espacial usando
.
Passo 2
Substituindo
na equação da onda temos
Dividindo por
resulta
Como o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, igualamos a uma constante de separação
. Isso gera
Passo 3
Para separar ainda mais em
e
, suponha
. Então
Dividindo por
e multiplicando por
obtemos
Como os dois primeiros termos dependem só de
e o último só de
, igualamos cada parte a uma constante
, o que dá
Passo 4
Na equação radial defina
,
e mude a variável para
. Note que
Substituindo em
e usando
leva a
que é a equação de Bessel de ordem
.
Passo 5
Sabendo que a solução geral da equação de Bessel é
no nosso caso
, temos
Passo 6
A equação para
é
cuja solução geral é
Para que
seja satisfeita para todo
,
deve ser inteiro:
.
Passo 7
Por fim, na equação temporal
tomamos
, obtendo
cuja solução geral é
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
, com
f)