O movimento de uma membrana circular elástica, como a membrana de um tambor, é determinado pela equação da onda bidimensional em coordenadas polares.
u_{r r}+\frac{1}{r} u_{r}+\frac{1}{r^{2}} u_{\theta \theta}=\frac{1}{v^{2}} u_{t t} ; 0 \leq r \leq R, 0 \leq \theta \leq 2 \pi, t \geq 0
a) Supondo u(r, \theta, t)=F(r, \theta) \cdot T(t), e fazendo a constante de separação entre tempo e espaço igual a -\lambda, mostre que as equações diferenciais para F(r, \theta) e para T(t) são:
F_{r r}+\frac{1}{r} F_{r}+\frac{1}{r^{2}} F_{\theta \theta}+\lambda F=0 \text { e } \frac{d^{2} T}{d t^{2}}+\lambda v^{2} T=0
b) Na equação diferencial parcial para F(r, \theta), suponha F(r, \theta)= R(r) \Theta(\theta), e fazendo a constante de separação igual a \delta, obtenha as seguintes equações para R(r) e \Theta(\theta) :
r^{2} \frac{d^{2} R}{d r^{2}}+r \frac{d R}{d r}+\left(\lambda r^{2}-\delta\right) R=0 \text { e } \frac{d^{2} \Theta}{d \theta^{2}}+\delta \Theta=0
c) Na equação diferencial para R(r), faça agora \lambda=\alpha^{2}, \delta=\nu^{2}, e a mudança de variável u=\alpha r, obtenha a seguinte equação diferencial:
u^{2} \frac{d^{2} R}{d u^{2}}+u \frac{d R}{d u}+\left(u^{2}-\nu^{2}\right) R=0
que é uma equação de Bessel de ordem \nu, para R(u).
d) Sabendo que a solução geral da equação de Bessel
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+\left(x^{2}-\nu^{2}\right) y=0
é y=A J_{\nu}(x)+B Y_{\nu}(x), escreva a solução geral da equação diferencial para R(r).
e) Substitua agora, na equação diferencial para \theta(\theta) que você obteve anteriormente, \delta por \nu^{2}. Escreva a solução geral desta equação diferencial. O que podemos concluir a respeito de \nu, devido ao fato de que esta solução deve ser periódica, com período 2 \pi, isto é, \Theta(\theta+2 \pi)=\Theta(\theta) ?
f) Por fim, substitua \lambda por \alpha^{2} na equação diferencial para T(t) e escreva sua solução geral.

Passo 1

O enunciado dá a equação da onda em coordenadas polares
u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}=\frac{1}{v^{2}}u_{tt},
e pede solução por separação de variáveis. Vamos primeiro separar a dependência temporal e espacial usando u(r,\theta,t)=F(r,\theta)\,T(t).

Passo 2

Substituindo u=F\,T na equação da onda temos
F_{rr}T+\frac{1}{r}F_{r}T+\frac{1}{r^{2}}F_{\theta\theta}T =\frac{1}{v^{2}}F\,T''.
Dividindo por F\,T resulta
\frac{F_{rr}}{F}+\frac{1}{r}\frac{F_{r}}{F}+\frac{1}{r^{2}}\frac{F_{\theta\theta}}{F} =\frac{1}{v^{2}}\frac{T''}{T}.
Como o lado esquerdo depende só de (r,\theta) e o direito só de t, igualamos a uma constante de separação -\lambda. Isso gera
F_{rr}+\frac{1}{r}F_{r}+\frac{1}{r^{2}}F_{\theta\theta}+\lambda F=0 \quad\text{e}\quad T''+\lambda v^{2}T=0.

Passo 3

Para separar ainda mais em r e \theta, suponha F(r,\theta)=R(r)\,\Theta(\theta). Então
R''\Theta+\frac{1}{r}R'\Theta+\frac{1}{r^{2}}R\,\Theta''+\lambda R\,\Theta=0.
Dividindo por R\,\Theta e multiplicando por r^{2} obtemos
r^{2}\frac{R''}{R}+r\frac{R'}{R}+\lambda r^{2}+\frac{\Theta''}{\Theta}=0.
Como os dois primeiros termos dependem só de r e o último só de \theta, igualamos cada parte a uma constante -\delta, o que dá
r^{2}R''+rR'+\bigl(\lambda r^{2}-\delta\bigr)R=0 \quad\text{e}\quad \Theta''+\delta\,\Theta=0.

Passo 4

Na equação radial defina \lambda=\alpha^{2}, \delta=\nu^{2} e mude a variável para u=\alpha r. Note que
\frac{dR}{dr}=\alpha\frac{dR}{du},\quad \frac{d^{2}R}{dr^{2}}=\alpha^{2}\frac{d^{2}R}{du^{2}}.
Substituindo em
r^{2}R''+rR'+(\alpha^{2}r^{2}-\nu^{2})R=0
e usando r=u/\alpha leva a
u^{2}\frac{d^{2}R}{du^{2}}+u\frac{dR}{du}+\bigl(u^{2}-\nu^{2}\bigr)R=0,
que é a equação de Bessel de ordem \nu.

Passo 5

Sabendo que a solução geral da equação de Bessel é
y=A\,J_{\nu}(x)+B\,Y_{\nu}(x),
no nosso caso x=u=\alpha r, temos
R(r)=A\,J_{\nu}(\alpha r)+B\,Y_{\nu}(\alpha r).

Passo 6

A equação para \Theta é
\Theta''+\nu^{2}\Theta=0,
cuja solução geral é
\Theta(\theta)=C\cos(\nu\theta)+D\sin(\nu\theta).
Para que \Theta(\theta+2\pi)=\Theta(\theta) seja satisfeita para todo \theta, \nu deve ser inteiro: \nu=n\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Por fim, na equação temporal T''+\lambda v^{2}T=0 tomamos \lambda=\alpha^{2}, obtendo
T''+\alpha^{2}v^{2}T=0,
cuja solução geral é
T(t)=E\cos(\alpha v\,t)+F\sin(\alpha v\,t).

Resposta

a) F_{rr}+\frac{1}{r}F_{r}+\frac{1}{r^{2}}F_{\theta\theta}+\lambda F=0
\displaystyle T''+\lambda v^{2}T=0
b) \displaystyle r^{2}R''+rR'+(\lambda r^{2}-\delta)R=0
\displaystyle \Theta''+\delta\,\Theta=0
c) \displaystyle u^{2}R''_{uu}+uR'_{u}+(u^{2}-\nu^{2})R=0
d) \displaystyle R(r)=A\,J_{\nu}(\alpha r)+B\,Y_{\nu}(\alpha r)
e) \displaystyle \Theta(\theta)=C\cos(\nu\theta)+D\sin(\nu\theta), com \nu\in\mathbb{Z}
f) \displaystyle T(t)=E\cos(\alpha v\,t)+F\sin(\alpha v\,t)

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