E. 3 Resolva o PVI:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
Informações dadas:
A tarefa é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Primeiro passo padrão: encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
A equação homogênea é
A equação homogênea é
Para resolver equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Posso substituir
e obter
As raízes são
. Quando a equação característica tem raízes complexas
a solução homogênea é combinação linear de
e
. Aqui
e
, então
onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Vou usar o método dos coeficientes indeterminados: escolhemos uma forma tentativa para
parecida com o lado direito
e determinamos coeficientes de modo que a tentativa satisfaça a equação. Regra importante (ressonância): se a função do lado direito (aqui
) já é solução da homogênea, a tentativa simples falha — então multiplicamos por
o suficiente para remover a coincidência. No nosso caso
pertence ao espaço gerado por
(soluções homogêneas), então usamos a forma tentativa
com
constantes desconhecidas. Explico por que: multiplicar por
“eleva” a tentativa e quebra a coincidência com a homogênea.
Passo 4
Calculemos
. Usamos a regra do produto: se
com
, então
Como
, temos
Passo 5
Agora calculemos
. Derivamos
:
a derivada de é
.
A derivada de é
a derivada de
A derivada de
Somando tudo obtemos
Ou seja
Passo 6
Agora substituímos
e
na equação
. Escrevo o lado esquerdo:
Observe que os termos com fator
se cancelam:
Fica então
Passo 7
Igualamos o resultado ao lado direito
:
Para que isso seja verdade para todo
devemos igualar coeficientes de
e
:
coeficiente de :
.
coeficiente de :
.
coeficiente de
coeficiente de
Passo 8
Portanto a solução particular é
Passo 9
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
Passo 10
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro . Calculando
:
Primeiro
Como
, obtemos
.
Passo 11
Precisamos de
para usar
. Derivo a solução geral (usando
já descoberto ou mantendo
para clareza):
Derivando,
Organizando,
Agora avalio em
:
Como
, segue
, logo
.
Passo 12
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular do PVI:
Pronto — essa função satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.