E. 3 Resolva o PVI:
y^{\prime \prime}+y=\sin t, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y''+y=\sin t,\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
Informações dadas:
\text{equação diferencial: }y''+y=\sin t,çã
\text{condições iniciais: }y(0)=0,\;y'(0)=1.çõ
A tarefa é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Primeiro passo padrão: encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
A equação homogênea é
y_h''+y_h=0.
Para resolver equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Posso substituir y_h=e^{rt} e obter
r^2+1=0.
As raízes são r=\pm i. Quando a equação característica tem raízes complexas \alpha\pm i\beta a solução homogênea é combinação linear de e^{\alpha t}\cos(\beta t) e e^{\alpha t}\sin(\beta t). Aqui \alpha=0 e \beta=1, então
y_h(t)=C_1\cos t + C_2\sin t,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(t) da equação completa
y''+y=\sin t.
Vou usar o método dos coeficientes indeterminados: escolhemos uma forma tentativa para y_p parecida com o lado direito \sin t e determinamos coeficientes de modo que a tentativa satisfaça a equação. Regra importante (ressonância): se a função do lado direito (aqui \sin t) já é solução da homogênea, a tentativa simples falha — então multiplicamos por t o suficiente para remover a coincidência. No nosso caso \sin t pertence ao espaço gerado por \cos t,\sin t (soluções homogêneas), então usamos a forma tentativa
y_p(t)=t\big(A\cos t + B\sin t\big),
com A,B constantes desconhecidas. Explico por que: multiplicar por t “eleva” a tentativa e quebra a coincidência com a homogênea.

Passo 4

Calculemos y_p'(t). Usamos a regra do produto: se y_p(t)=t\cdot u(t) com u(t)=A\cos t+B\sin t, então
y_p'(t)=1\cdot u(t)+t\cdot u'(t).
Como u'(t)=-A\sin t + B\cos t, temos
y_p'(t)=A\cos t + B\sin t + t(-A\sin t + B\cos t).

Passo 5

Agora calculemos y_p''(t). Derivamos y_p':
a derivada de A\cos t + B\sin t é -A\sin t + B\cos t.
A derivada de t(-A\sin t + B\cos t) é
1\cdot(-A\sin t + B\cos t) + t\cdot(-A\cos t - B\sin t).
Somando tudo obtemos
y_p''(t)=(-A\sin t + B\cos t) + (-A\sin t + B\cos t) + t(-A\cos t - B\sin t).
Ou seja
y_p''(t)=2(-A\sin t + B\cos t) + t(-A\cos t - B\sin t).

Passo 6

Agora substituímos y_p e y_p'' na equação y''+y=\sin t. Escrevo o lado esquerdo:
y_p''+y_p = \big[2(-A\sin t + B\cos t) + t(-A\cos t - B\sin t)\big] + \big[t(A\cos t + B\sin t)\big].
Observe que os termos com fator t se cancelam:
t(-A\cos t - B\sin t)+t(A\cos t + B\sin t)=0.
Fica então
y_p''+y_p = -2A\sin t + 2B\cos t.

Passo 7

Igualamos o resultado ao lado direito \sin t:
-2A\sin t + 2B\cos t = \sin t.
Para que isso seja verdade para todo t devemos igualar coeficientes de \sin t e \cos t:
coeficiente de \sin t: -2A = 1 \Rightarrow A=-\tfrac{1}{2}.
coeficiente de \cos t: 2B = 0 \Rightarrow B=0.

Passo 8

Portanto a solução particular é
y_p(t) = t\big(A\cos t + B\sin t\big) = t\big(-\tfrac{1}{2}\cos t + 0\big) = -\tfrac{1}{2}t\cos t.

Passo 9

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1\cos t + C_2\sin t - \tfrac{1}{2}t\cos t.

Passo 10

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeiro y(0)=0. Calculando y(0):
y(0)=C_1\cos 0 + C_2\sin 0 - \tfrac{1}{2}\cdot 0\cdot\cos 0 = C_1.
Como y(0)=0, obtemos C_1=0.

Passo 11

Precisamos de y'(t) para usar y'(0)=1. Derivo a solução geral (usando C_1=0 já descoberto ou mantendo C_1 para clareza):
y(t)=C_1\cos t + C_2\sin t - \tfrac{1}{2}t\cos t.
Derivando,
y'(t)=-C_1\sin t + C_2\cos t - \tfrac{1}{2}\big(\cos t - t\sin t\big).
Organizando,
y'(t)=-C_1\sin t + C_2\cos t - \tfrac{1}{2}\cos t + \tfrac{1}{2}t\sin t.
Agora avalio em t=0:
y'(0) = -C_1\cdot 0 + C_2\cdot 1 - \tfrac{1}{2}\cdot 1 + 0 = C_2 - \tfrac{1}{2}.
Como y'(0)=1, segue C_2 - \tfrac{1}{2}=1, logo C_2=\tfrac{3}{2}.

Passo 12

Substituindo C_1=0 e C_2=\tfrac{3}{2} na solução geral obtemos a solução particular do PVI:
y(t)=\tfrac{3}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}t\cos t.
Pronto — essa função satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Resposta

y(t)=\tfrac{3}{2}\sin t - \tfrac{1}{2}t\cos t

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