E. 2 Resolva o PVI:
y^{\prime}+2 y=4 e^{-t}, \quad y(0)=1 .

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI)
y'(t)+2y(t)=4e^{-t},\qquad y(0)=1.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, na forma y'+p(t)y=g(t) com p(t)=2 e g(t)=4e^{-t}.
  • Condição inicial: y(0)=1.
    O que se quer: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para todo t (no intervalo onde a solução faz sentido) e que cumpre a condição inicial.

Passo 2

Escolha do método (curtinho e honesto): vamos usar o método do fator integrante, que é o procedimento padrão para resolver equações lineares de primeira ordem da forma y'+p(t)y=g(t). Isso é normalmente o jeito mais direto em provas porque transforma a equação em uma derivada exata e permite integrar facilmente. Vou explicar o método passo a passo.

Passo 3

Ideia do fator integrante — mini-aula:
  • Para uma equação da forma y'+p(t)y=g(t) definimos o fator integrante \mu(t) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(t), o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(t)y(t).
  • Queremos \mu(t) satisfazendo
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big)=\mu(t)y'(t)+\mu'(t)y(t).
Comparando com \mu(t)y'(t)+\mu(t)p(t)y(t) vemos que precisamos ter \mu'(t)=\mu(t)p(t). Isso é uma equação diferencial separável simples para \mu.

Passo 4

Cálculo do fator integrante \mu(t) para nosso caso:
  • Aqui p(t)=2. Então \mu'(t)=2\mu(t).
  • Resolver \mu'(t)=2\mu(t)
\mu(t)=e^{\int 2\,dt}=e^{2t}.
(Escolhemos a constante multiplicativa igual a 1 pois qualquer constante multiplicativa só escala a solução geral e é absorbida depois.)

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(t)=e^{2t} e transformar em derivada exata:
  • Multiplicando cada termo,
e^{2t}y'(t)+2e^{2t}y(t)=4e^{2t}e^{-t}.
  • Pelo cálculo do passo 3, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\big(e^{2t}y(t)\big)=4e^{2t}e^{-t}.
  • Simplificando o lado direito 4e^{2t}e^{-t}=4e^{t}. Assim obtemos a equação simples
\frac{d}{dt}\big(e^{2t}y(t)\big)=4e^{t}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a t para obter a solução geral:
  • Integrando,
\int \frac{d}{dt}\big(e^{2t}y(t)\big)\,dt=\int 4e^{t}\,dt.
  • O lado esquerdo integra diretamente para e^{2t}y(t). O lado direito é \int 4e^{t}\,dt=4e^{t}+C, onde C é constante de integração. Logo
e^{2t}y(t)=4e^{t}+C.
  • Isolando y(t),
y(t)=e^{-2t}\big(4e^{t}+C\big)=4e^{-t}+C e^{-2t}.
Essa é a solução geral da equação diferencial (antes de usar a condição inicial). Observação didática: escrevemos \,e^{-2t}(4e^{t}+C)=4e^{-t}+C e^{-2t} distribuindo a exponencial, o que facilita aplicar a condição inicial.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(0)=1 para determinar C:
  • Substituindo t=0 na expressão geral,
y(0)=4e^{0}+C e^{0}=4+C.
  • A condição diz y(0)=1, então 4+C=1. Portanto
C=1-4=-3.

Passo 8

Escrever a solução particular final e verificar rapidamente:
  • Substituindo C=-3 em y(t)=4e^{-t}+C e^{-2t} obtemos
y(t)=4e^{-t}-3e^{-2t}.
  • Verificação rápida mental: em t=0 4-3=1 (condição inicial ok). Se quisermos confirmar que satisfaz a ODE, podemos calcular y'(t)=-4e^{-t}+6e^{-2t} e checar y'+2y=(-4e^{-t}+6e^{-2t})+2(4e^{-t}-3e^{-2t})= simplificando = -4e^{-t}+6e^{-2t}+8e^{-t}-6e^{-2t}=4e^{-t}, que é exatamente o lado direito da ODE. Tudo consistente.

Resposta

y(t)=4e^{-t}-3e^{-2t}

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