E. 2 Resolva o PVI:
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI)
Informações dadas:
- É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, na forma
com e . - Condição inicial:
.
O que se quer: encontrar a funçãoque satisfaz a equação diferencial para todo (no intervalo onde a solução faz sentido) e que cumpre a condição inicial.
Passo 2
Escolha do método (curtinho e honesto): vamos usar o método do fator integrante, que é o procedimento padrão para resolver equações lineares de primeira ordem da forma
. Isso é normalmente o jeito mais direto em provas porque transforma a equação em uma derivada exata e permite integrar facilmente. Vou explicar o método passo a passo.
Passo 3
Ideia do fator integrante — mini-aula:
- Para uma equação da forma
definimos o fator integrante tal que, ao multiplicar a equação por , o lado esquerdo vire a derivada do produto . - Queremos
satisfazendo
Comparando com
vemos que precisamos ter
. Isso é uma equação diferencial separável simples para
.
Passo 4
Cálculo do fator integrante
para nosso caso:
- Aqui
. Então . - Resolver
dá
(Escolhemos a constante multiplicativa igual a
pois qualquer constante multiplicativa só escala a solução geral e é absorbida depois.)
Passo 5
Multiplicar a equação original por
e transformar em derivada exata:
- Multiplicando cada termo,
- Pelo cálculo do passo 3, o lado esquerdo é a derivada do produto:
- Simplificando o lado direito
. Assim obtemos a equação simples
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
para obter a solução geral:
- Integrando,
- O lado esquerdo integra diretamente para
. O lado direito é , onde é constante de integração. Logo
- Isolando
,
Essa é a solução geral da equação diferencial (antes de usar a condição inicial). Observação didática: escrevemos
distribuindo a exponencial, o que facilita aplicar a condição inicial.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
:
- Substituindo
na expressão geral,
- A condição diz
, então . Portanto
Passo 8
Escrever a solução particular final e verificar rapidamente:
- Substituindo
em obtemos
- Verificação rápida mental: em
dá (condição inicial ok). Se quisermos confirmar que satisfaz a ODE, podemos calcular e checar simplificando , que é exatamente o lado direito da ODE. Tudo consistente.