Calcule \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} onde
(d) f(t)=1 * t^{3}

Passo 1

O enunciado pede calcular \mathcal{L}\{f(t)\} onde f(t)=1 * t^{3}.
Informações dadas e o que precisa ser obtido:
  • A função f(t) é definida como a convolução entre a função constante 1 (para t\ge0) e a função t^{3}.
  • Deve-se encontrar \mathcal{L}\{f(t)\}, a transformada de Laplace de f(t).

Passo 2

Lembrar a definição de convolução (isso é importante para entender a função f). Para duas funções g e h definidas em t\ge0, a convolução é
(g*h)(t)=\int_{0}^{t} g(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Aplicando isso ao caso g(\tau)=1 e h(\tau)=\tau^{3}, obtemos a expressão integral para f(t):
f(t)=(1 * t^{3})(t)=\int_{0}^{t} 1\cdot (t-\tau)^{3}\,d\tau.

Passo 3

Calcular explicitamente a integral da convolução para simplificar f(t). Faça a mudança de variável u=t-\tau. Quando \tau=0 tem u=t; quando \tau=t tem u=0. Também du=-d\tau. Assim
f(t)=\int_{0}^{t} (t-\tau)^{3}\,d\tau=\int_{u=t}^{u=0} u^{3}(-du)=\int_{0}^{t} u^{3}\,du.
Agora integre u^{3}:
\int_{0}^{t} u^{3}\,du=\left.\frac{u^{4}}{4}\right|_{0}^{t}=\frac{t^{4}}{4}.
Portanto
f(t)=\frac{t^{4}}{4}.

Passo 4

Agora calcular a transformada de Laplace de \displaystyle f(t)=\frac{t^{4}}{4}. Usamos a fórmula geral (que vale para n inteiro não-negativo):
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-st}\,dt=\frac{n!}{s^{n+1}},\qquad s>0.
Breve justificativa dessa fórmula (recorrência por integração por partes):
I_{n}=\int_{0}^{\infty} t^{n}e^{-st}\,dt.
Fazendo integração por partes com u=t^{n}, dv=e^{-st}dt obtém-se I_{n}=\dfrac{n}{s}I_{n-1} e I_{0}=\dfrac{1}{s}, daí I_{n}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}.

Passo 5

Aplicar a fórmula para n=4 e lembrar do fator 1/4 presente em f(t):
\mathcal{L}\{f(t)\}=\mathcal{L}\left\{\frac{t^{4}}{4}\right\}=\frac{1}{4}\mathcal{L}\{t^{4}\}=\frac{1}{4}\cdot\frac{4!}{s^{5}}.
Como 4!=24,
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{4}\cdot\frac{24}{s^{5}}=\frac{6}{s^{5}}.

Passo 6

(Comentário didático extra — método alternativo usando a propriedade da transformada) A propriedade da transformada de Laplace diz que a transformada da convolução é o produto das transformadas:
\mathcal{L}\{g*h\}=\mathcal{L}\{g\}\cdot\mathcal{L}\{h\}.
Aqui \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s} e \mathcal{L}\{t^{3}\}=\dfrac{3!}{s^{4}}=\dfrac{6}{s^{4}}. O produto é
\frac{1}{s}\cdot\frac{6}{s^{4}}=\frac{6}{s^{5}},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{6}{s^{5}}

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