Calcule
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+9} e^{-\pi s / 2}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=\frac{s}{s^{2}+9}\,e^{-\frac{\pi s}{2}}.
O conteúdo envolve o par de Laplace
\mathcal{L}\{\cos(3t)\}=\frac{s}{s^{2}+3^{2}}
e o teorema do deslocamento no tempo, que diz
\mathcal{L}^{-1}\{G(s)e^{-as}\}=g(t-a)\,u(t-a).

Passo 2

Identificamos a parte sem o fator exponencial:
\frac{s}{s^{2}+9}
é justamente \mathcal{L}\{\cos(3t)\}. Logo, a transformada inversa básica é
g(t)=\cos(3t).

Passo 3

Aplicamos o teorema do deslocamento no tempo com a=\tfrac{\pi}{2}. Assim,
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{s}{s^{2}+9}\,e^{-\frac{\pi s}{2}}\bigr\} =\cos\bigl(3(t-\tfrac{\pi}{2})\bigr)\;u\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Resposta

\boxed{\cos\bigl(3\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\bigr)\,u\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)}

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