Calcule
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-4} e^{-2 s}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s-4}e^{-2s}\Big\}.
O conteúdo principal aqui é a propriedade de deslocamento no tempo (também chamada de teorema do valor retardado). Vamos precisar saber a inversa de \tfrac{1}{s-a} e depois aplicar o deslocamento.

Passo 2

Considere primeiro a função sem o fator e^{-2s}, isto é
\frac{1}{s-4}.
Sabemos que
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s-a}\Big\}=e^{a t}.
Logo, para a=4,
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s-4}\Big\}=e^{4t}.

Passo 3

Agora usamos o teorema do valor retardado, que diz: se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=u(t-a)\,f(t-a),
onde u(t-a) é a função de Heaviside (degrau unitário) centrada em t=a.

Passo 4

Aqui a=2 e f(t)=e^{4t}. Aplicando o teorema, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s-4}e^{-2s}\Big\} =u(t-2)\,e^{4\,(t-2)}.

Resposta

u(t-2)\,e^{4(t-2)}.

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