Lista de exercícios de Cálculo III - Integrais de linha
5. Calcular a integral \int_{C}(x-y) d s, onde C é a circunferência x^{2}+y^{2}=a x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha com elemento de arco
\int_{C}(x - y)\,ds
onde C é a circunferência dada por x^{2} + y^{2} = a\,x.
Esse tipo de problema usa parametrização de curvas e a fórmula
\int_{C}f(x,y)\,ds \;=\;\int_{t_{0}}^{t_{1}}f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\bigl\lvert r'(t)\bigr\rvert\,dt.

Passo 2

Reescrevendo a equação da circunferência:
x^{2} - a\,x + y^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; \bigl(x - \tfrac{a}{2}\bigr)^{2} + y^{2} = \bigl(\tfrac{a}{2}\bigr)^{2}.
Logo o centro é \bigl(\tfrac{a}{2},0\bigr) e o raio é \tfrac{a}{2}.
Uma parametrização conveniente é
x(t) = \frac{a}{2} + \frac{a}{2}\cos t, \quad y(t) = \frac{a}{2}\sin t, \quad 0 \le t \le 2\pi.
Então
r'(t) = \bigl(-\tfrac{a}{2}\sin t,\;\tfrac{a}{2}\cos t\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \bigl\lvert r'(t)\bigr\rvert = \frac{a}{2}.

Passo 3

Substituindo x(t) e y(t) em x-y e multiplicando por \lvert r'(t)\rvert\,dt:
x(t) - y(t) = \frac{a}{2} + \frac{a}{2}\cos t - \frac{a}{2}\sin t = \frac{a}{2}\bigl(1 + \cos t - \sin t\bigr),
(x-y)\,ds = \frac{a}{2}\bigl(1 + \cos t - \sin t\bigr)\;\cdot\;\frac{a}{2}\,dt = \frac{a^{2}}{4}\bigl(1 + \cos t - \sin t\bigr)\,dt.

Passo 4

Agora integramos de 0 a 2\pi:
\int_{C}(x-y)\,ds = \int_{0}^{2\pi}\frac{a^{2}}{4}\bigl(1+\cos t - \sin t\bigr)\,dt = \frac{a^{2}}{4}\Bigl[\int_{0}^{2\pi}1\,dt +\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt -\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt\Bigr].
Sabendo que \int_{0}^{2\pi}1\,dt = 2\pi e que \int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt = 0, \int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt = 0,
segue
\int_{C}(x-y)\,ds = \frac{a^{2}}{4}\cdot 2\pi = \frac{\pi a^{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi a^{2}}{2}

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