Calcule
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2)^{3}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{1}{(s+2)^{3}}\biggr\}.
O conteúdo envolvido é a tabela básica de transformadas de Laplace, em particular o caso
\mathcal{L}\{t^{n}e^{-at}\}=\frac{n!}{(s+a)^{\,n+1}}.

Passo 2

Reconhecemos que a forma genérica
\frac{n!}{(s+a)^{\,n+1}}
é a transformada de t^{n}e^{-at}. Aqui temos \frac{1}{(s+2)^{3}}, que deve corresponder a esse padrão.

Passo 3

No nosso caso (s+a)=(s+2) e o expoente no denominador é 3, ou seja, n+1=3 \Rightarrow n=2. A fórmula diz
\mathcal{L}\{t^{2}e^{-2t}\}=\frac{2!}{(s+2)^{3}}=\frac{2}{(s+2)^{3}}.

Passo 4

Para obter \frac{1}{(s+2)^{3}} em vez de \frac{2}{(s+2)^{3}}, basta multiplicar por \tfrac12. Logo
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s+2)^{3}}\Bigr\}=\tfrac12\,t^{2}e^{-2t}.

Resposta

\boxed{\frac{t^{2}}{2}\,e^{-2t}}

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