Seja
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado define
.
Queremos mostrar que
.
Para isso vamos usar a definição de supremo (menor cota superior) e o fato de que é denso em
.
Queremos mostrar que
Para isso vamos usar a definição de supremo (menor cota superior) e o fato de que
Passo 2
Mostramos que
é cota superior de
.
Se , então por definição
.
Logo para todo vale
, ou seja,
é uma cota superior de
.
Se
Logo para todo
Passo 3
Agora mostramos que não existe cota superior menor que
.
Seja . Defina
.
Pela densidade de em
, existe um racional
tal que
Seja
Pela densidade de
Esse
satisfaz
, logo
, e ao mesmo tempo
.
Portanto não pode ser cota superior de
.
Portanto
Passo 4
Concluímos que
é a menor cota superior de
, ou seja,