Seja A=[0, \sqrt{5}) \cap Q. Mostre que \sup A=\sqrt{5}.

Passo 1

O enunciado define
\displaystyle A = [0,\sqrt{5})\cap \mathbb{Q} = \{\,q\in\mathbb{Q}:0\le q<\sqrt{5}\}.
Queremos mostrar que
\sup A = \sqrt{5}.
Para isso vamos usar a definição de supremo (menor cota superior) e o fato de que \mathbb{Q} é denso em \mathbb{R}.

Passo 2

Mostramos que \sqrt{5} é cota superior de A.
Se q\in A, então por definição q<\sqrt{5}.
Logo para todo q\in A vale q\le\sqrt{5}, ou seja, \sqrt{5} é uma cota superior de A.

Passo 3

Agora mostramos que não existe cota superior menor que \sqrt{5}.
Seja \alpha<\sqrt{5}. Defina
\varepsilon = \sqrt{5}-\alpha>0.
Pela densidade de \mathbb{Q} em \mathbb{R}, existe um racional q tal que
\alpha < q < \alpha + \varepsilon = \sqrt{5}.
Esse q satisfaz 0\le q<\sqrt{5}, logo q\in A, e ao mesmo tempo q>\alpha.
Portanto \alpha não pode ser cota superior de A.

Passo 4

Concluímos que \sqrt{5} é a menor cota superior de A, ou seja,
\sup A = \sqrt{5}.

Resposta

\sup A = \sqrt{5}.

Exercícios relacionados