Considere o conjunto
. Determine
e
, demonstrando suas afirmações.
Passo 1
O enunciado define
e pede
e
. Aqui vamos usar duas ideias: mostrar que a sequência
é monótona (para identificar o menor termo) e calcular seu limite quando
(para encontrar o maior limite superior).
Passo 2
Mostramos que
é estritamente crescente calculando a diferença
Logo,
para todo
, o que significa que
sobe conforme
aumenta.
Passo 3
Como a sequência é crescente, o menor valor de
ocorre em
. Então
Passo 4
Para achar o limite quando
, dividimos numerador e denominador por
:
Passo 5
Como
é crescente e se aproxima de
mas nunca o atinge, concluímos que
é a menor cota superior de
. Portanto