Considere o conjunto A=\left\{\frac{28 n}{2 n+1} ; n \in \mathrm{~N}\right\}. Determine \sup A e \operatorname{infA}, demonstrando suas afirmações.

Passo 1

O enunciado define
A = \left\{\frac{28\,n}{2\,n+1} \;\Big|\; n\in\mathbb{N}\right\}
e pede \sup A e \inf A. Aqui vamos usar duas ideias: mostrar que a sequência
a_n = \frac{28\,n}{2\,n+1}
é monótona (para identificar o menor termo) e calcular seu limite quando n\to\infty (para encontrar o maior limite superior).

Passo 2

Mostramos que (a_n) é estritamente crescente calculando a diferença
a_{n+1}-a_n = \frac{28(n+1)}{2n+3} - \frac{28n}{2n+1} = \frac{28\bigl((n+1)(2n+1)-n(2n+3)\bigr)}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{28}{(2n+1)(2n+3)} > 0.
Logo, a_{n+1}>a_n para todo n, o que significa que (a_n) sobe conforme n aumenta.

Passo 3

Como a sequência é crescente, o menor valor de A ocorre em n=1. Então
\inf A = a_1 = \frac{28\cdot 1}{2\cdot 1+1} = \frac{28}{3}.

Passo 4

Para achar o limite quando n\to\infty, dividimos numerador e denominador por n:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{28\,n}{2\,n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{28}{2 + \tfrac1n} = \frac{28}{2} = 14.

Passo 5

Como (a_n) é crescente e se aproxima de 14 mas nunca o atinge, concluímos que 14 é a menor cota superior de A. Portanto
\sup A = 14.

Resposta

\sup A = 14
\inf A = \tfrac{28}{3}

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