Resolva os seguintes sistemas onde x e y são funções de t
\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=-x+y \y^{\prime}=2 x\end{array}\right.
x(0)=0 ; y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema de EDOs lineares de coeficientes constantes
\begin{cases} x' = -x + y,\\\ y' = 2x, \end{cases}
com condições iniciais x(0)=0 e y(0)=1. Vamos usar o método de eliminação para obter uma equação de segunda ordem em x.

Passo 2

Derivando a primeira equação em função de t, temos
x'' = -x' + y'.
Como y' = 2x, substituímos e obtemos a equação
x'' + x' - 2x = 0.

Passo 3

A equação característica associada é
r^2 + r - 2 = 0,
cuja solução dá r=1 e r=-2. Logo a solução geral para x(t) é
x(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-2t}.

Passo 4

Para achar y(t), usamos a relação y = x' + x. Calculamos
x'(t) = C_1 e^{t} - 2C_2 e^{-2t},
portanto
y(t) = x'(t) + x(t) = 2C_1 e^{t} - C_2 e^{-2t}.

Passo 5

Aplicando as condições iniciais em t=0:
x(0) = C_1 + C_2 = 0,
y(0) = 2C_1 - C_2 = 1.
Resolvendo esse sistema, obtemos C_1 = \tfrac{1}{3} e C_2 = -\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 nas fórmulas de x(t) e y(t), concluímos
x(t) = \frac{1}{3}\bigl(e^{t} - e^{-2t}\bigr),
y(t) = \frac{2}{3}e^{t} + \frac{1}{3}e^{-2t}.

Resposta

x(t) = \frac{1}{3}\bigl(e^{t} - e^{-2t}\bigr), \qquad y(t) = \frac{2}{3}e^{t} + \frac{1}{3}e^{-2t}.

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