Calcule
\mathcal{L}\left\{t e^{2 t} \operatorname{sen}(6 t)\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \,t\,e^{2t}\sin(6t). O conteúdo principal envolve duas propriedades: a propriedade de deslocamento no domínio de s para fatores e^{at} e a propriedade de derivada em s para o fator t.

Passo 2

Primeiro, lembramos a propriedade de deslocamento: se
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\},
então
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a).
Aqui vamos precisar de a=2.

Passo 3

Em segundo lugar, usamos que
\mathcal{L}\{t\,f(t)\} = -\frac{d}{ds}\bigl[\mathcal{L}\{f(t)\}\bigr].
Tomamos f(t)=\sin(6t). Sabemos que
\mathcal{L}\{\sin(6t)\} = \frac{6}{s^2+36}.
Logo,
\mathcal{L}\{t\sin(6t)\} = -\frac{d}{ds}\!\Bigl(\frac{6}{s^2+36}\Bigr) = -6\cdot\bigl(-2s\bigr)\,(s^2+36)^{-2} = \frac{12s}{(s^2+36)^2}.

Passo 4

Agora aplicamos o deslocamento s\mapsto s-2 para incluir o fator e^{2t}:
\mathcal{L}\{t\,e^{2t}\sin(6t)\} = \mathcal{L}\{t\sin(6t)\}\big|_{s\to s-2} = \frac{12\,(s-2)}{\bigl((s-2)^2+36\bigr)^2}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{t\,e^{2t}\sin(6t)\} = \frac{12\,(s-2)}{\bigl((s-2)^2+36\bigr)^2}.}

Exercícios relacionados