Calcule
, utilizando uma identidade trigonométrica, linearidade e resultados tabelados de transformadas de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando uma identidade trigonométrica, linearidade e transformadas tabeladas.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a transformar é
. - É permitido usar identidade trigonométrica e propriedades da transformada de Laplace (linearidade) e resultados tabelados (por exemplo
e ).
O objetivo final é obter uma expressão em termos depara .
Passo 2
Usar uma identidade trigonométrica que simplifica
. A identidade vem da fórmula do cosseno do ângulo duplo:
Despejando
obtemos:
Explicação breve: essa identidade expressa o quadrado do seno em termos de um cosseno de frequência dupla; é útil porque a transformada de Laplace de
está tabulada e é simples.
Passo 3
Lembrar a definição e propriedade de linearidade da transformada de Laplace que vamos usar:
- Definição (intuição):
. Aqui é a variável complexa da transformada e a integral converge para valores de em uma certa região (aqui teremos ). - Linearidade: para constantes
e funções ,
Também usaremos resultados tabelados:
válidos para
. Aqui
é constante (no nosso caso
).
Passo 4
Aplicar a identidade do Passo 2 e a linearidade:
Substituindo as transformadas tabeladas do Passo 3:
Passo 5
Fazer a álgebra para simplificar a expressão. Começamos por
Colocando em denominador comum
:
Subtraindo:
A região de convergência permanece
(função de crescimento limitado).
Passo 6
Resumo didático e dica prática para a prova: sempre que aparecer
ou
aplique as identidades de ângulo duplo para reduzir a uma combinação de constante e
; em seguida use linearidade e as transformadas padrão
e
. Assim evita calcular integrais impraticáveis na prova.