Calcule \mathcal{L}\left\{\operatorname{sen}^{2}(t)\right\}, utilizando uma identidade trigonométrica, linearidade e resultados tabelados de transformadas de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathcal{L}\{\operatorname{sen}^{2}(t)\} usando uma identidade trigonométrica, linearidade e transformadas tabeladas.
Informações dadas:
  • A função a transformar é \operatorname{sen}^{2}(t).
  • É permitido usar identidade trigonométrica e propriedades da transformada de Laplace (linearidade) e resultados tabelados (por exemplo \mathcal{L}\{1\} e \mathcal{L}\{\cos(at)\}).
    O objetivo final é obter uma expressão em termos de s para \mathcal{L}\{\operatorname{sen}^{2}(t)\}.

Passo 2

Usar uma identidade trigonométrica que simplifica \operatorname{sen}^{2}(t). A identidade vem da fórmula do cosseno do ângulo duplo:
\cos(2t)=1-2\sin^{2}(t).
Despejando \sin^{2}(t) obtemos:
\sin^{2}(t)=\frac{1-\cos(2t)}{2}.
Explicação breve: essa identidade expressa o quadrado do seno em termos de um cosseno de frequência dupla; é útil porque a transformada de Laplace de \cos(at) está tabulada e é simples.

Passo 3

Lembrar a definição e propriedade de linearidade da transformada de Laplace que vamos usar:
  • Definição (intuição): \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt. Aqui s é a variável complexa da transformada e a integral converge para valores de s em uma certa região (aqui teremos \operatorname{Re}(s)>0).
  • Linearidade: para constantes a,b e funções f,g,
\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\}=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}.
Também usaremos resultados tabelados:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},
válidos para \operatorname{Re}(s)>0. Aqui a é constante (no nosso caso a=2).

Passo 4

Aplicar a identidade do Passo 2 e a linearidade:
\mathcal{L}\{\sin^{2}(t)\}=\mathcal{L}\!\left\{\frac{1-\cos(2t)}{2}\right\} =\frac{1}{2}\mathcal{L}\{1\}-\frac{1}{2}\mathcal{L}\{\cos(2t)\}.
Substituindo as transformadas tabeladas do Passo 3:
\mathcal{L}\{\sin^{2}(t)\}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{2}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}.

Passo 5

Fazer a álgebra para simplificar a expressão. Começamos por
\mathcal{L}\{\sin^{2}(t)\}=\frac{1}{2s}-\frac{s}{2(s^{2}+4)}.
Colocando em denominador comum 2s(s^{2}+4):
\frac{1}{2s}=\frac{s^{2}+4}{2s(s^{2}+4)},\qquad \frac{s}{2(s^{2}+4)}=\frac{s^{2}}{2s(s^{2}+4)}.
Subtraindo:
\mathcal{L}\{\sin^{2}(t)\}=\frac{s^{2}+4 - s^{2}}{2s(s^{2}+4)}=\frac{4}{2s(s^{2}+4)}=\frac{2}{s(s^{2}+4)}.
A região de convergência permanece \operatorname{Re}(s)>0 (função de crescimento limitado).

Passo 6

Resumo didático e dica prática para a prova: sempre que aparecer \sin^{2}(t) ou \cos^{2}(t) aplique as identidades de ângulo duplo para reduzir a uma combinação de constante e \cos(2t); em seguida use linearidade e as transformadas padrão \mathcal{L}\{1\} e \mathcal{L}\{\cos(at)\}. Assim evita calcular integrais impraticáveis na prova.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\operatorname{sen}^{2}(t)\}=\frac{2}{s(s^{2}+4)} para \operatorname{Re}(s)>0

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