Calcule a transformada de Laplace de cada função, usando propriedades e tabelas quando conveniente
\quad f(t)=u_{4}(t)(t-4), onde u_{4}(t) é a função degrau unitário centrada em t=4
u_{4}(t)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & t<4, \\\\ 1, & t \geq 4 . \end{array} \text { e } u_{4}(t)(t-4)= \begin{cases}0, & t<4 \\\ t-4, & t \geq 4\end{cases}\right.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=u_{4}(t)(t-4)\), onde \(u_{4}(t)\) é o degrau unitário deslocado para \(t=4\). Vou listar claramente o que temos: - A função degrau é \[u_{4}(t)=\begin{cases}0,&t<4,\\[4pt]1,&t\ge 4.\end{cases}
  • A função dada é
f(t)=u_{4}(t)(t-4)=\begin{cases}0,&t<4,\\[4pt]t-4,&t\ge4.\end{cases}
A tarefa é calcular a transformada de Laplace
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt,
especificando, quando necessário, a região de convergência em (s].]

Passo 2

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e a condição de convergência mínima que usaremos:
  • Definição: para uma função h(t) (suficientemente bem comportada) a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{h\}(s)=\int_{0}^{\infty} h(t)e^{-st}\,dt.
  • Condição prática: para funções polinomiais multiplicadas por e^{-st} a integral converge para \operatorname{Re}(s)>0. Portanto, ao final apresentarei a resposta válida para \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 3

Apresento a propriedade que torna essa conta muito simples: o teorema do segundo deslocamento (shifting theorem).
  • Propriedade (teorema do segundo deslocamento): se uma função pode ser escrita como u_{c}(t)\,g(t-c) (ou seja, é zero antes de t=c e a partir de c é uma cópia de g deslocada), então
\mathcal{L}\{u_{c}(t)\,g(t-c)\}(s)=e^{-c s}\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s).
  • Demonstração curta (intuitiva) dessa propriedade: comece pela integral da definição aplicando a forma u_{c}(t)g(t-c)
\mathcal{L}\{u_{c}(t)g(t-c)\}(s)=\int_{0}^{\infty} u_{c}(t)g(t-c)e^{-st}\,dt=\int_{c}^{\infty} g(t-c)e^{-st}\,dt.
Mude de variável \tau=t-c. Então t=\tau+c e quando t vai de c a \infty, \tau vai de 0 a \infty. A integral vira
\int_{0}^{\infty} g(\tau)e^{-s(\tau+c)}\,d\tau=e^{-cs}\int_{0}^{\infty} g(\tau)e^{-s\tau}\,d\tau=e^{-cs}\mathcal{L}\{g\}(s).
Isso prova a propriedade. Usaremos ela com c=4 e g(\tau)=\tau.

Passo 4

Identificação para o problema: escrevemos f(t) na forma necessária para aplicar o teorema do segundo deslocamento.
  • Aqui f(t)=u_{4}(t)(t-4) é exatamente da forma u_{c}(t)g(t-c) com c=4 e g(\tau)=\tau (ou seja g(t)=t).
  • Portanto
\mathcal{L}\{f\}(s)=e^{-4s}\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=e^{-4s}\,\mathcal{L}\{t\}(s).
Agora basta calcular \mathcal{L}\{t\}(s).

Passo 5

Calcular \mathcal{L}\{t\}(s) diretamente pela definição (vou mostrar passo a passo usando integração por partes):
\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt.
Fazendo integração por partes escolha u=t e dv=e^{-st}\,dt. Então du=dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Aplicando a fórmula \int u\,dv=uv-\int v\,du obtemos
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt=\left.-\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Avaliaremos os termos:
  • O termo \left.-\dfrac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{\infty}=0-0=0 para \operatorname{Re}(s)>0 porque t e^{-st}\to0 quando t\to\infty.
  • O segundo termo é
\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}} \quad\text{para }\operatorname{Re}(s)>0.
Portanto
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}\quad(\operatorname{Re}(s)>0).

Passo 6

Aplicando o resultado do Passo 4 com \mathcal{L}\{t\}(s)=1/s^{2} obtemos
\mathcal{L}\{u_{4}(t)(t-4)\}(s)=e^{-4s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{e^{-4s}}{s^{2}},
válido para \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 7

Verificação alternativa (checar por integral direta): calcular diretamente
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt=\int_{4}^{\infty} (t-4)e^{-st}\,dt.
Fazendo a substituição u=t-4 obtemos t=u+4 e a integral vira
\int_{0}^{\infty} u e^{-s(u+4)}\,du=e^{-4s}\int_{0}^{\infty} u e^{-su}\,du=e^{-4s}\cdot\frac{1}{s^{2}},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{u_{4}(t)(t-4)\}(s)=\frac{e^{-4s}}{s^{2}} (válido para \operatorname{Re}(s)>0).

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