Calcule a transformada de Laplace de cada função, usando propriedades e tabelas quando conveniente \quad f(t)=u_{4}(t)(t-4), onde u_{4}(t) é a função degrau unitário centrada em t=4
u_{4}(t)=\left\{\begin{array}{ll}
0, & t<4, \\\\ 1, & t \geq 4 .
\end{array} \text { e } u_{4}(t)(t-4)= \begin{cases}0, & t<4 \\\ t-4, & t \geq 4\end{cases}\right.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=u_{4}(t)(t-4)\), onde \(u_{4}(t)\) é o degrau unitário deslocado para \(t=4\). Vou listar claramente o que temos:
- A função degrau é
\[u_{4}(t)=\begin{cases}0,&t<4,\\[4pt]1,&t\ge 4.\end{cases}
Condição prática: para funções polinomiais multiplicadas por e^{-st} a integral converge para \operatorname{Re}(s)>0. Portanto, ao final apresentarei a resposta válida para \operatorname{Re}(s)>0.
Passo 3
Apresento a propriedade que torna essa conta muito simples: o teorema do segundo deslocamento (shifting theorem).
Propriedade (teorema do segundo deslocamento): se uma função pode ser escrita como u_{c}(t)\,g(t-c) (ou seja, é zero antes de t=c e a partir de c é uma cópia de g deslocada), então