Resolva os seguintes sistemas onde x e y são funções de t
\begin{gathered}\left\{\begin{array}{l}x^{\prime \prime}+x-y=0 \y^{\prime \prime}+y-x=0\end{array}\right. \x(0)=0 ; x^{\prime}(0)=-2 ; y(0)=0 ; y^{\prime}(0)=1\end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá um sistema acoplado de EDOs de segunda ordem em x(t) e y(t):
\begin{cases} x'' + x - y = 0,\\\ y'' + y - x = 0, \end{cases}
com condições iniciais
x(0)=0,\quad x'(0)=-2,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=1.
O conteúdo aqui é a técnica de mudança de variáveis para “desacoplar” o sistema, definindo combinações lineares que levam a equações independentes.

Passo 2

Definimos
u(t) = x(t) + y(t), \qquad v(t) = x(t) - y(t).
Somando as duas equações originais obtemos
x'' + y'' = 0 \quad\Longrightarrow\quad u''(t) = 0.
Subtraindo a segunda equação da primeira dá
x'' - y'' + 2\bigl(x - y\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad v''(t) + 2\,v(t)=0.

Passo 3

Resolvendo u''(t)=0 temos a solução geral
u(t)=A + B\,t.
Como
u(0)=x(0)+y(0)=0, \quad u'(0)=x'(0)+y'(0)=-2+1=-1,
segue
A=0,\quad B=-1,
isto é
u(t)=-t.

Passo 4

Para v''+2v=0 a solução geral é
v(t)=C\cos\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)+D\sin\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).
Usando
v(0)=x(0)-y(0)=0, \quad v'(0)=x'(0)-y'(0)=-2-1=-3,
vemos que C=0 e
v'(t)=D\sqrt{2}\cos\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr) \quad\Longrightarrow\quad D\sqrt{2}=-3 \quad\Longrightarrow\quad D=-\frac{3}{\sqrt{2}}.
Logo
v(t)=-\frac{3}{\sqrt{2}}\, \sin\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).

Passo 5

Como x = \tfrac{u+v}{2} e y=\tfrac{u-v}{2}, obtemos
x(t) =\frac{-t - \frac{3}{\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t)}{2} =-\frac{t}{2} -\frac{3}{2\sqrt{2}}\, \sin\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr),
y(t) =\frac{-t + \frac{3}{\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t)}{2} =-\frac{t}{2} +\frac{3}{2\sqrt{2}}\, \sin\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).
Verifica-se facilmente que essas funções satisfazem as condições iniciais e o sistema.

Resposta

x(t)=-\frac{t}{2} -\frac{3}{2\sqrt{2}}\, \sin\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr), \quad y(t)=-\frac{t}{2} +\frac{3}{2\sqrt{2}}\, \sin\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).

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