Calcule
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se calcular a transformada de Laplace de
- Informação útil para a solução: a transformada de Laplace é uma integral imprópria a partir de
; como
é definida por partes, vamos usar essa divisão no cálculo.]
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e condição de existência (rápida explicação).
- Definição: para uma função
com crescimento adequado, a transformada de Laplace é
onde
é um número complexo e a integral converge para valores de
com parte real suficientemente grande.
- Intuição simples: a transformada “pesa”
por e soma tudo de ao infinito. Quando tem pedaços diferentes, somamos as contribuições de cada pedaço.
Passo 3
Estratégia de cálculo: dividir a integral em dois intervalos conforme a definição por partes.
Escrevemos a transformada como soma de duas integrais, correspondendo às duas partes de
:
Agora calculamos cada integral separadamente.
Passo 4
Calcular a primeira integral
.
- Essa é uma integral exponencial básica. Usamos a primitivação:
(para ). - Avaliando de
a :
Passo 5
Calcular a segunda integral
.
- Simplificar o integrando:
. Para evitar confusão com constantes, é mais claro fazer a mudança de variável . - Substituição
quando temos , quando temos . Além disso . - Reescrevendo a integral:
- A integral
converge se (isto é ), e vale . - Portanto
Passo 6
Somar as duas contribuições e simplificar a expressão.
- Juntando os resultados dos passos anteriores:
- Podemos reescrever de forma ligeiramente mais compacta agrupando os termos com
:
- Observação sobre a região de convergência: a primeira parcela
exige para convergência da integral original; a segunda parcela exigiria , portanto a condição dominante é . Logo a transformada é válida para .
Passo 7
(Comentário didático extra — forma alternativa usando função degrau) — modo útil para provas e manipulações.
- Podemos escrever
usando a função degrau :
- Aplicando a propriedade do deslocamento:
, com , obtemos exatamente a mesma expressão encontrada acima:
- Isso confirma e dá uma forma útil para manipular sinais de tempo deslocados.