Calcule \mathfrak{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}, nos casos abaixo:
F(s)=\frac{s}{(s-2)(s-3)(s-6)}

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada inversa de Laplace da função racional
F(s)=\frac{s}{(s-2)(s-3)(s-6)}.
Informações dadas:
  • A função de s é racional e tem pólos simples em s=2,3,6.
  • O objetivo é encontrar f(t)=\mathfrak{L}^{-1}\{F(s)\} (função no tempo), presumindo o sinal usual de causalidade t\ge0.

Passo 2

Estratégia escolhida: decompor F(s) em frações parciais do tipo
\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s-3}+\frac{C}{s-6},
porque para cada termo básico \dfrac{1}{s-a} sabemos que a transformada inversa é e^{at}. A decomposição é apropriada pois o grau do numerador ( 1) é menor que o do denominador ( 3), então não é preciso divisão polinomial.

Passo 3

Lembrete das propriedades que vamos usar:
  • Linearidade: \mathfrak{L}^{-1}\{aF(s)+bG(s)\}=a\,\mathfrak{L}^{-1}\{F(s)\}+b\,\mathfrak{L}^{-1}\{G(s)\}.
  • Transformada básica: \mathfrak{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a} para s>a (ou de forma formal, \mathfrak{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-a}\}=e^{at}).
    Essas duas ideias permitem obter f(t) termo a termo após a decomposição.

Passo 4

Escrevemos a decomposição com constantes desconhecidas A,B,C:
\frac{s}{(s-2)(s-3)(s-6)}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s-3}+\frac{C}{s-6}.
Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s-3)(s-6) obtemos a identidade polinomial
s = A\,(s-3)(s-6)+B\,(s-2)(s-6)+C\,(s-2)(s-3).

Passo 5

Vamos determinar A,B,C usando o método de avaliação nos pólos (cover-up), ou seja, substituir s pelos valores que anulam cada fator:
  • Para s=2:
2 = A\,(2-3)(2-6)=A\cdot(-1)\cdot(-4)=4A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
  • Para s=3:
3 = B\,(3-2)(3-6)=B\cdot(1)\cdot(-3)=-3B \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{3}{3}=-1.
  • Para s=6:
6 = C\,(6-2)(6-3)=C\cdot 4\cdot 3=12C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Substituindo os coeficientes encontrados na decomposição, temos
F(s)=\frac{1/2}{s-2}+\frac{-1}{s-3}+\frac{1/2}{s-6}.
Ou, escrevendo de forma mais limpa,
F(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s-3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-6}.

Passo 7

Aplicando a transformada inversa termo a termo usando \mathfrak{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-a}\}=e^{at} e linearidade, obtemos
f(t)=\frac{1}{2}e^{2t}-e^{3t}+\frac{1}{2}e^{6t},\qquad t\ge0.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{1}{2}e^{2t}-e^{3t}+\frac{1}{2}e^{6t}

Exercícios relacionados