Calcule
, nos casos abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a transformada inversa de Laplace da função racional
Informações dadas:
- A função de
é racional e tem pólos simples em . - O objetivo é encontrar
(função no tempo), presumindo o sinal usual de causalidade .
Passo 2
Estratégia escolhida: decompor
em frações parciais do tipo
porque para cada termo básico
sabemos que a transformada inversa é
. A decomposição é apropriada pois o grau do numerador (
) é menor que o do denominador (
), então não é preciso divisão polinomial.
Passo 3
Lembrete das propriedades que vamos usar:
- Linearidade:
. - Transformada básica:
para (ou de forma formal, ).
Essas duas ideias permitem obtertermo a termo após a decomposição.
Passo 4
Escrevemos a decomposição com constantes desconhecidas
:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 5
Vamos determinar
usando o método de avaliação nos pólos (cover-up), ou seja, substituir
pelos valores que anulam cada fator:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Substituindo os coeficientes encontrados na decomposição, temos
Ou, escrevendo de forma mais limpa,
Passo 7
Aplicando a transformada inversa termo a termo usando
e linearidade, obtemos