Calcule
, nos casos abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace
para a função
Informações dadas:
-
está escrita como diferença de duas parcelas: e . - Não há outras informações sobre a região de convergência ou se a transformada é unilateral (causal) ou bilateral.
Passo 2
Primeiro lembrete útil e básico (linearidade):
Logo podemos separar
Passo 3
Calcular
.
Recordando a transformada direta (fórmula que uso aqui): para
com
(sinal causal),
Portanto, usando inversão direta,
Passo 4
A propriedade de deslocamento no tempo (teorema do atraso) que vamos usar é:
se , então, para
,
se
onde
é a função degrau unitário e
é uma função deslocada para a direita (causal a partir de
). Daí
É importante entender o significado do parâmetro
: quando
a multiplicação por
corresponde a atrasar a função no tempo (novo sinal nasce em
). Se
, a fator
corresponde a um avanço no tempo (o sinal aparece antes de
), o que normalmente leva a funções não causais (suporte em tempos negativos) — isso é possível no contexto da transformada bilateral, mas não é compatível com a hipótese padrão de sinais causais (unilateral).
Passo 5
Aplicando a propriedade ao segundo termo
:
escrevemos
. Assim, formalmente,
isto é, aplicação direta da fórmula com
. Interpretação:
- Esse resultado descreve um avanço no tempo: a função
tem suporte a partir de (não é uma função causal que nasce em ). - Portanto a expressão completa, tomada literalmente, é
Essa é a inversa formal válida no contexto de transformada bilateral (ou quando se permite sinais definidos antes de
).
Passo 6
Comentário prático e muito importante (para a prova):
- Na prática, em cursos de transformada de Laplace de sinais causais (unilateral) o que normalmente aparece é
com . O caso com é atípico porque gera avanço temporal e torna o sinal não causal. - É muito comum que exercícios peçam
(com sinal negativo no expoente). Nesse caso a aplicação é direta e produz uma função causal e simples. Vou calcular também essa forma (provável intenção do enunciado), pois é o caso padrão que se usa em prova.
Passo 7
Caso provável (uso de [e^{-2 s}) em vez de
) — cálculo útil para prova:
Se tivéssemos
então
Já vimos
. Pela propriedade de deslocamento com
,
Logo
Escrevendo de forma explícita por partes (útil para prova e interpretação):
Isto é, a função cresce linearmente até
, fica constante igual a
.]
Resposta
Para o enunciado literal com
(inversa formal, contexto bilateral / avanço no tempo):
Caso provável e habitual em exercícios (se o expoente for
, ou seja
):