Calcule \mathfrak{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}, nos casos abaixo:
F(s)=\frac{1-e^{2 s}}{s^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace \mathfrak{L}^{-1}\{F(s)\} para a função
F(s)=\frac{1-e^{2 s}}{s^{2}}.
Informações dadas:
  • F(s) está escrita como diferença de duas parcelas: \dfrac{1}{s^{2}} e \dfrac{e^{2 s}}{s^{2}}.
  • Não há outras informações sobre a região de convergência ou se a transformada é unilateral (causal) ou bilateral.

Passo 2

Primeiro lembrete útil e básico (linearidade):
\mathfrak{L}^{-1}\{A(s)+B(s)\}=\mathfrak{L}^{-1}\{A(s)\}+\mathfrak{L}^{-1}\{B(s)\}.
Logo podemos separar
\mathfrak{L}^{-1}\Big\{\frac{1-e^{2 s}}{s^{2}}\Big\}=\mathfrak{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s^{2}}\Big\}-\mathfrak{L}^{-1}\Big\{\frac{e^{2 s}}{s^{2}}\Big\}.

Passo 3

Calcular \mathfrak{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}}\}.
Recordando a transformada direta (fórmula que uso aqui): para f(t)=t com t\ge0 (sinal causal),
\mathfrak{L}\{t\}=\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt=\frac{1}{s^{2}} \quad(\Re(s)>0).
Portanto, usando inversão direta,
\mathfrak{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s^{2}}\Big\}=t \quad\text{(para \(t\ge0\), função causal usual).}çã

Passo 4

A propriedade de deslocamento no tempo (teorema do atraso) que vamos usar é:
se \mathfrak{L}\{f(t)\}=F(s), então, para a>0,
\mathfrak{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-a s}F(s),
onde u(\cdot) é a função degrau unitário e f(t-a)u(t-a) é uma função deslocada para a direita (causal a partir de t=a). Daí
\mathfrak{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=f(t-a)u(t-a).
É importante entender o significado do parâmetro a: quando a>0 a multiplicação por e^{-a s} corresponde a atrasar a função no tempo (novo sinal nasce em t=a). Se a<0, a fator e^{-a s}=e^{|a| s} corresponde a um avanço no tempo (o sinal aparece antes de t=0), o que normalmente leva a funções não causais (suporte em tempos negativos) — isso é possível no contexto da transformada bilateral, mas não é compatível com a hipótese padrão de sinais causais (unilateral).

Passo 5

Aplicando a propriedade ao segundo termo \dfrac{e^{2 s}}{s^{2}}:
escrevemos e^{2 s}=\;e^{-(-2)s}. Assim, formalmente,
\mathfrak{L}^{-1}\Big\{\frac{e^{2 s}}{s^{2}}\Big\}=\mathfrak{L}^{-1}\Big\{e^{-(-2)s}\cdot\frac{1}{s^{2}}\Big\} = (t-(-2))\,u(t-(-2)) = (t+2)\,u(t+2),
isto é, aplicação direta da fórmula com a=-2. Interpretação:
  • Esse resultado descreve um avanço no tempo: a função (t+2)u(t+2) tem suporte a partir de t=-2 (não é uma função causal que nasce em t\ge0).
  • Portanto a expressão completa, tomada literalmente, é
f(t)=t-(t+2)\,u(t+2).
Essa é a inversa formal válida no contexto de transformada bilateral (ou quando se permite sinais definidos antes de t=0).

Passo 6

Comentário prático e muito importante (para a prova):
  • Na prática, em cursos de transformada de Laplace de sinais causais (unilateral) o que normalmente aparece é e^{-a s} com a>0. O caso com e^{+2 s} é atípico porque gera avanço temporal e torna o sinal não causal.
  • É muito comum que exercícios peçam \mathfrak{L}^{-1}\!\big\{\dfrac{1-e^{-2 s}}{s^{2}}\big\} (com sinal negativo no expoente). Nesse caso a aplicação é direta e produz uma função causal e simples. Vou calcular também essa forma (provável intenção do enunciado), pois é o caso padrão que se usa em prova.

Passo 7

Caso provável (uso de [e^{-2 s}) em vez de e^{+2 s}) — cálculo útil para prova:
Se tivéssemos
G(s)=\frac{1-e^{-2 s}}{s^{2}},
então
\mathfrak{L}^{-1}\{G(s)\}=\mathfrak{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s^{2}}\Big\}-\mathfrak{L}^{-1}\Big\{\frac{e^{-2 s}}{s^{2}}\Big\}.
Já vimos \mathfrak{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}}\}=t. Pela propriedade de deslocamento com a=2,
\mathfrak{L}^{-1}\Big\{\frac{e^{-2 s}}{s^{2}}\Big\}=(t-2)\,u(t-2).
Logo
\mathfrak{L}^{-1}\Big\{\frac{1-e^{-2 s}}{s^{2}}\Big\}=t-(t-2)\,u(t-2).
Escrevendo de forma explícita por partes (útil para prova e interpretação):
\mathfrak{L}^{-1}\Big\{\frac{1-e^{-2 s}}{s^{2}}\Big\}= \begin{cases} t, & 0\le t<2,\\[4pt] 2, & t\ge 2. \end{cases}
Isto é, a função cresce linearmente até t=2\] e, a partir de \(t=2, fica constante igual a 2.]

Resposta

Para o enunciado literal com e^{2 s} (inversa formal, contexto bilateral / avanço no tempo):
\boxed{\,f(t)=t-(t+2)\,u(t+2)\,}
Caso provável e habitual em exercícios (se o expoente for -2, ou seja 1-e^{-2s}):
\boxed{\,f(t)=t-(t-2)\,u(t-2)= \begin{cases} t, & 0\le t<2,\\[4pt] 2, & t\ge 2. \end{cases} \,}

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