Calcule \mathfrak{R}^{-1}\left\{F(s)\right\}=f(t) das seguintes funções
F(s)=\frac{5}{s}-\frac{3}{s-2}+\frac{4}{s^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{5}{s}-\frac{3}{s-2}+\frac{4}{s^{2}+4}
ou seja, queremos encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}. Para isso, vamos usar a linearidade da transformada de Laplace e algumas transformadas conhecidas.

Passo 2

Relembrando pares usuais de transformadas de Laplace: \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}, \mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}, \mathcal{L}\{\sin(bt)\}=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}.

Passo 3

Aplicando a linearidade termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{5}{s}\Bigr\}=5\cdot1=5,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\!-\frac{3}{s-2}\Bigr\}=-3\,e^{2t},
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{4}{s^{2}+4}\Bigr\} =4\cdot\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}+2^{2}}\Bigr\} =4\cdot\frac{1}{2}\sin(2t) =2\sin(2t).

Passo 4

Somando os resultados parciais, obtemos
f(t)=5-3\,e^{2t}+2\sin(2t).

Resposta

f(t)=5 - 3e^{2t} + 2\sin(2t).

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