Encontre a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
4 \operatorname{sen} y \mathrm{~d} x=-x \cos y \mathrm{~d} y.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
4\sin y\,dx = -\,x\cos y\,dy
que é uma EDO de variáveis separáveis. Para resolver vamos usar a técnica de separação de variáveis seguida de integração indefinida.

Passo 2

Reescrevemos a equação dividindo por x\sin y (assumindo x\neq0 e \sin y\neq0):
\frac{dx}{x} = -\frac{\cos y}{4\sin y}\,dy = -\tfrac14\cot y\,dy.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{dx}{x} = -\tfrac14 \int \cot y\,dy.
Computando as integrais:
\ln\bigl|x\bigr| = -\tfrac14 \ln\bigl|\sin y\bigr| + C.

Passo 4

Reescrevendo a constante e exponenciando:
\ln\bigl|x\bigr| + \tfrac14\ln\bigl|\sin y\bigr| = C \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\bigl(|x|\,(\sin y)^{1/4}\bigr)=C \quad\Longrightarrow\quad |x|\,(\sin y)^{1/4}=C_1.
Elevando ambos os lados à quarta potência, obtemos a forma mais simples da solução geral:
x^4\sin y = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^4\sin y = C

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