(2 pontos) Considere a equação de Bernoulli
Encontre a solução geral da equação diferencial acima, utilizando o método de Bernoulli. Em seguida, encontre a única solução que satisfaz
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de Bernoulli
que podemos reescrever em forma padrão
identificando
,
e o expoente
. Para resolver, vamos usar a substituição de Bernoulli
.
Passo 2
Colocamos a equação no formato linear em
:
Passo 3
Definimos
Então
Passo 4
Substituindo
em
, obtemos
Reorganizando, surge a equação linear em
:
Passo 5
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando por
e integrando:
Logo
Passo 6
Voltando a
, lembrando que
, temos
Passo 7
Para achar a solução que satisfaz
, impomos
Substituindo em
, obtemos a solução particular.
Resposta
A solução geral é
e a única solução com
é