(2 pontos) Considere a equação de Bernoulli
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=y\left(x y^{3}-\frac{1}{x}\right) .
Encontre a solução geral da equação diferencial acima, utilizando o método de Bernoulli. Em seguida, encontre a única solução que satisfaz y(1)=2.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de Bernoulli
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \;=\; y\Bigl(x\,y^{3}-\tfrac{1}{x}\Bigr)
que podemos reescrever em forma padrão
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
identificando P(x)=\tfrac{1}{x}, Q(x)=x e o expoente n=4. Para resolver, vamos usar a substituição de Bernoulli z=y^{\,1-n}=y^{-3}.

Passo 2

Colocamos a equação no formato linear em y:
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \frac{1}{x}\,y = x\,y^{4}.

Passo 3

Definimos
z = y^{\,1-n} = y^{-3}.
Então
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = (1-n)\,y^{-n}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -3\,y^{-4}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.

Passo 4

Substituindo \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x\,y^4 - \tfrac{y}{x} em \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}, obtemos
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = -3\,y^{-4}\Bigl(x\,y^4 - \tfrac{y}{x}\Bigr) = -3\,x + \frac{3\,y^{-3}}{x} = -3\,x + \frac{3\,z}{x}.
Reorganizando, surge a equação linear em z:
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} - \frac{3}{x}\,z = -3\,x.

Passo 5

Para resolver
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} - \frac{3}{x}\,z = -3\,x
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(-3\!\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\Bigr) = x^{-3}.
Multiplicando por \mu e integrando:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x^{-3}z\bigr) = -3\,x^{-2} \quad\Longrightarrow\quad x^{-3}z = \int -3\,x^{-2}\,\mathrm{d}x = 3\,x^{-1} + C.
Logo
z = 3\,x^2 + C\,x^3.

Passo 6

Voltando a y, lembrando que z=y^{-3}, temos
y^{-3} = 3\,x^2 + C\,x^3 \quad\Longrightarrow\quad y = \bigl(3\,x^2 + C\,x^3\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}.

Passo 7

Para achar a solução que satisfaz y(1)=2, impomos
2 = \bigl(3\cdot1^2 + C\cdot1^3\bigr)^{-\tfrac{1}{3}} \;\Longrightarrow\; 2^3 = \frac{1}{3 + C} \;\Longrightarrow\; 8 = \frac{1}{3 + C} \;\Longrightarrow\; 3 + C = \tfrac{1}{8} \;\Longrightarrow\; C = -\tfrac{23}{8}.
Substituindo em y(x), obtemos a solução particular.

Resposta

A solução geral é
y(x) = \bigl(3\,x^2 + C\,x^3\bigr)^{-\tfrac{1}{3}},
e a única solução com y(1)=2 é
y(x) = \bigl(3\,x^2 - \tfrac{23}{8}\,x^3\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}.

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