Calcule
\mathscr{L}{f(t)}
, ou
\mathscr{L}^{-1}{F(s)}
, conforme seja o caso:
Calcule \mathscr{L}(f), se f(t)=t^{2}-e^{3 t}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace \mathscr{L}\{f\} de
f(t)=t^{2}-e^{3t}.
O conteúdo envolvido é a definição da transformada de Laplace e sua propriedade de linearidade, bem como fórmulas conhecidas:
\mathscr{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{\,n+1}}, para \Re(s)>0.
\mathscr{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a}, para \Re(s)>a.

Passo 2

Aplicando a linearidade, escrevemos
\mathscr{L}\{f\} =\mathscr{L}\{t^{2}\}-\mathscr{L}\{e^{3t}\}.

Passo 3

Para t^{2} usamos \mathscr{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}} com n=2:
\mathscr{L}\{t^{2}\} =\frac{2!}{s^{3}} =\frac{2}{s^{3}}, \qquad \Re(s)>0.

Passo 4

Para e^{3t} usamos \mathscr{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a} com a=3:
\mathscr{L}\{e^{3t}\} =\frac{1}{s-3}, \qquad \Re(s)>3.

Passo 5

Como a região de convergência é \Re(s)>3 (exigida pelo termo e^{3t}), juntamos os resultados:
\mathscr{L}\{f\}(s) =\frac{2}{s^{3}}-\frac{1}{s-3}.

Resposta

\mathscr{L}\{t^{2}-e^{3t}\}(s) =\frac{2}{s^{3}}-\frac{1}{s-3},\quad \Re(s)>3.

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