Encontre a solução dos sistemas de equações:
X^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}3 & -2 \\\ 4 & 1\end{array}\right) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo de coeficientes constantes
X' = A\,X, \quad A = \begin{pmatrix}3 & -2\\[6pt]4 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo da matéria é “sistemas lineares com coeficientes constantes” e o método é achar autovalores e autovetores de A. Como os autovalores serão complexos, depois vamos extrair duas soluções reais usando as partes real e imaginária da solução complexa.]

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}3-\lambda & -2\\[4pt]4 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(1-\lambda)-(-2)\cdot4 =\lambda^2-4\lambda+11.
As raízes são
\lambda = \frac{4\pm\sqrt{16-44}}{2} = 2\pm i\sqrt{7}.
Logo o sistema tem parte real \alpha=2 e parte imaginária \beta=\sqrt{7}.]

Passo 3

Vamos encontrar um autovetor para \lambda=2+i\sqrt7. Resolvendo (A-\lambda I)v=0 obtemos
\begin{pmatrix}1 - i\sqrt7 & -2\\[3pt]4 & -1 - i\sqrt7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =0 \;\implies\; (1 - i\sqrt7)v_1 = 2v_2.
Escolhendo v_1=2 v_2=1 - i\sqrt7. Portanto um autovetor é
v = \begin{pmatrix}2\\[3pt]1 - i\sqrt7\end{pmatrix}.]

Passo 4

A solução complexa é
X_c(t) = e^{(2+i\sqrt7)t}\,v.
Escrevendo e^{(2+i\sqrt7)t}=e^{2t}(\cos(\sqrt7 t)+i\sin(\sqrt7 t)) e multiplicando por v, separamos as partes real e imaginária para obter duas soluções reais independentes:
X_1(t) = e^{2t} \begin{pmatrix} 2\cos(\sqrt7 t)\\[4pt] \cos(\sqrt7 t)+\sqrt7\,\sin(\sqrt7 t) \end{pmatrix}, \quad X_2(t) = e^{2t} \begin{pmatrix} 2\sin(\sqrt7 t)\\[4pt] \sin(\sqrt7 t)-\sqrt7\,\cos(\sqrt7 t) \end{pmatrix}.]

Passo 5

Como X_1 e X_2 formam uma base de soluções, a solução geral é
X(t)=C_1\,X_1(t)+C_2\,X_2(t),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

X(t) = C_1\,e^{2t} \begin{pmatrix} 2\cos(\sqrt7 t)\\[4pt] \cos(\sqrt7 t)+\sqrt7\,\sin(\sqrt7 t) \end{pmatrix} + C_2\,e^{2t} \begin{pmatrix} 2\sin(\sqrt7 t)\\[4pt] \sin(\sqrt7 t)-\sqrt7\,\cos(\sqrt7 t) \end{pmatrix}.]

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