Encontre a solução dos sistemas de equações:
X^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}-1 & -4 \\\ 1 & -1\end{array}\right) X

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de equações diferenciais com coeficientes constantes
\mathbf{X}' = A\,\mathbf{X}, \quad A = \begin{pmatrix}-1 & -4 \\[6pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
Para resolver, vamos usar autovalores e autovetores de A e, em seguida, montar as soluções reais a partir das partes real e imaginária.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}-1-\lambda & -4 \\[3pt] 1 & -1-\lambda\end{pmatrix} = (\lambda+1)^2 + 4 = \lambda^2 + 2\lambda + 5.
Igualando a zero, obtemos
\lambda = -1 \pm 2i.]

Passo 3

Para \lambda = -1 + 2i, resolvemos (A - \lambda I)\,\mathbf{v} = \mathbf{0}.
A - \lambda I = \begin{pmatrix}-1 -(-1+2i) & -4 \\[3pt] 1 & -1 -(-1+2i)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2i & -4 \\[3pt] 1 & -2i\end{pmatrix}.
Da primeira linha, -2i\,v_1 - 4\,v_2 = 0 implica v_1 = 2i\,v_2. Tomando v_2 = 1, escolhemos
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}2i \\[3pt] 1\end{pmatrix}.
Separamos as partes real e imaginária:
\mathbf{u} = \Re(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix}0 \\[3pt] 1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{w} = \Im(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix}2 \\[3pt] 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

As duas soluções fundamentais reais vêm de
\mathbf{X}_1(t) = e^{-t}\bigl(\mathbf{u}\cos 2t - \mathbf{w}\sin 2t\bigr), \quad \mathbf{X}_2(t) = e^{-t}\bigl(\mathbf{u}\sin 2t + \mathbf{w}\cos 2t\bigr).
Substituindo \mathbf{u} e \mathbf{w}:
\mathbf{X}_1(t) = e^{-t}\begin{pmatrix}-2\sin 2t \\[3pt] \cos 2t\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{X}_2(t) = e^{-t}\begin{pmatrix}2\cos 2t \\[3pt] \sin 2t\end{pmatrix}.]

Passo 5

A solução geral é a combinação linear dessas duas soluções fundamentais:
\mathbf{X}(t) = C_1\,\mathbf{X}_1(t) + C_2\,\mathbf{X}_2(t)
ou seja,
\begin{pmatrix}x(t) \\[3pt] y(t)\end{pmatrix} = C_1\,e^{-t}\begin{pmatrix}-2\sin 2t \\[3pt] \cos 2t\end{pmatrix} + C_2\,e^{-t}\begin{pmatrix}2\cos 2t \\[3pt] \sin 2t\end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrá­rias determinadas pelas condições iniciais.]

Resposta

\mathbf{X}(t) = C_1\,e^{-t}\begin{pmatrix}-2\sin 2t \\[3pt] \cos 2t\end{pmatrix} + C_2\,e^{-t}\begin{pmatrix}2\cos 2t \\[3pt] \sin 2t\end{pmatrix}.]

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