Calcule
\mathscr{L}{f(t)}
, ou
\mathscr{L}^{-1}{F(s)}
, conforme seja o caso:
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{2 e^{-2 s}}{s^{2}-4}\right\}(t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\displaystyle \mathscr{L}^{-1}\!\biggl\{\frac{2\,e^{-2s}}{s^{2}-4}\biggr\}(t).
O conteúdo principal é o teorema do segundo deslocamento no tempo, que relaciona multiplicação por e^{-a s} no domínio s com um deslocamento na função no domínio t.

Passo 2

Identificamos a parte sem o fator de deslocamento:
\displaystyle G(s)=\frac{2}{s^{2}-4}.
Sabemos que, para a>0,
\mathscr{L}\{\operatorname{sinh}(a t)\} =\frac{a}{s^{2}-a^{2}}.
Tomando a=2 temos
\mathscr{L}\{\operatorname{sinh}(2t)\} =\frac{2}{s^{2}-4},
ou seja,
\displaystyle \mathscr{L}^{-1}\!\bigl\{G(s)\bigr\}(t)=\operatorname{sinh}(2t).

Passo 3

Agora olhamos o fator e^{-2s}. O teorema do segundo deslocamento diz:
\mathscr{L}^{-1}\!\bigl\{e^{-a s}G(s)\bigr\}(t) = u(t-a)\,g(t-a),
onde g(t)=\mathscr{L}^{-1}\{G(s)\}(t) e u é a função de Heaviside.

Passo 4

Aplicando com a=2 e g(t)=\operatorname{sinh}(2t), obtemos
f(t) = u(t-2)\,\operatorname{sinh}\bigl(2\,(t-2)\bigr).

Resposta

f(t)=u(t-2)\,\operatorname{sinh}\bigl(2(t-2)\bigr).

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