Questão 1. Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Para as que convergirem, encontre o limite.
a_{n}=\ln \left(3 n^{2}+5\right)-\ln \left(n^{2}+1\right)
a_{n}=\ln \left(3 n^{2}+5\right)-\ln \left(n^{2}+1\right)
Passo 1
O enunciado nos pede para estudar a sequência
e verificar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é limite de sequência e propriedade de logaritmos.
Passo 2
Usamos a propriedade de logaritmo que diz
Aplicando em
, obtemos
Passo 3
Para encontrar
, analisamos a razão dentro do logaritmo. Dividindo numerador e denominador por
, temos
Como
e
quando
, a razão tende a
Passo 4
Como a função
é contínua em
, podemos trocar limite e logaritmo:
Portanto, a sequência converge.
Resposta
A sequência converge e