Questão 1. Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Para as que convergirem, encontre o limite.
a_{n}=\ln \left(3 n^{2}+5\right)-\ln \left(n^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a sequência
a_{n} = \ln\bigl(3n^{2}+5\bigr) - \ln\bigl(n^{2}+1\bigr)
e verificar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é limite de sequência e propriedade de logaritmos.

Passo 2

Usamos a propriedade de logaritmo que diz
\ln(A) - \ln(B) = \ln\bigl(\tfrac{A}{B}\bigr).
Aplicando em a_{n}, obtemos
a_{n} = \ln\!\Bigl(\frac{3n^{2}+5}{n^{2}+1}\Bigr).

Passo 3

Para encontrar \lim_{n\to\infty}a_{n}, analisamos a razão dentro do logaritmo. Dividindo numerador e denominador por n^{2}, temos
\frac{3n^{2}+5}{n^{2}+1} = \frac{3 + \tfrac{5}{n^{2}}}{1 + \tfrac{1}{n^{2}}}.
Como \tfrac{5}{n^{2}}\to0 e \tfrac{1}{n^{2}}\to0 quando n\to\infty, a razão tende a
\lim_{n\to\infty}\frac{3 + \tfrac{5}{n^{2}}}{1 + \tfrac{1}{n^{2}}} = \frac{3+0}{1+0} = 3.

Passo 4

Como a função \ln(x) é contínua em x>0, podemos trocar limite e logaritmo:
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \ln\!\Bigl(\lim_{n\to\infty}\frac{3n^{2}+5}{n^{2}+1}\Bigr) = \ln(3).
Portanto, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \ln(3).

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